Макросхема

1.

2. Для того, чтобы ответить на поставленные в задаче вопросы, после подключения «минуса» батарейного блока к точке «1», подключим «плюс» батарейного блока к любой другой точке схемы, кроме точки «3». В решении приведены данные для подключения «плюса» батарейного блока к точке «9».

Рис. 3. Узел «i» электрической цепи

Найдем местоположение резистора \(R_x\). Для этого рассмотрим узел «\(i\)», окруженный со всех сторон резисторами одинакового сопротивления \(R\). Тогда ток, текущий через резистор, подключенный между соседними узлами «\(i\)» и «\(j\)», равняется \(I=\frac{\Delta \varphi_{ij}}{R}\), где \(\Delta\varphi_{ij}\) – напряжение на резисторе. Воспользуемся первым правилом Кирхгофа – алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равняется нулю (рис. 3). Величина напряжения пропорциональна току, следовательно \[\sum_{j=k,l, m, n} \frac{\Delta \varphi_{ij}}{R} = 0.\qquad(1)\] Если к узлу подключены только одинаковые резисторы сопротивления \(R\), то алгебраическая сумма разностей потенциалов равна нулю с учетом знаков: \[\sum_{j=k,l, m, n} \Delta \varphi_{ij} = 0.\qquad(2) \tag{1}\] Если же один из резисторов, подключенных к узлу, имеет сопротивление, отличное от \(R\), то сумма разностей потенциалов не будет равна нулю, так как \[\sum I = \frac{\Delta \varphi_{ik}}{R}+\frac{\Delta \varphi_{il}}{R}+...+\frac{\Delta \varphi_x}{R_x}\neq 0.\qquad(3) \tag{2}\]

Будем измерять разность потенциалов для каждой пары соседних узлов. Результаты запишем в таблицу 1. В верхней строке указан номер узла, относительно которого измерена разность потенциалов с его «соседями», а в левой – номер узла «соседа», с которым измерялась разница. Технически измерения реализуются так: подключаем черный провод вольтметра к исследуемому узлу, а красный к соседнему, записывая в таблицу значение напряжения с учетом знака.

Проведем вычисления сумм разностей потенциалов для всех узлов в таблице и найдем точки, для которых \(\sum \Delta \varphi \neq 0\). Таких точек в схеме несколько - это узлы «1», «3», «8», «9», «15» и «20».

Для узлов «1» и «9» условие равенства нулю для суммы разностей потенциалов не выполняется, так как из этих узлов втекает или вытекает ток в «макросхему». Для точек «15» и «20» необходимо суммировать разности потенциалов только для соединенных с ними резисторов. В таком случае условие равенства нулю суммы разностей потенциалов выполняется. Для узла «3» условие равенства нулю суммы разностей потенциалов не выполняется, потому что номинал резистора \(r\) отличается от номинала резистора \(R\). Но также это может значить и то, что резистор \(R_x\) подключен между точками «3» и «8». Для того, чтобы разрешить противоречие, подключим красный контакт к любой другой точке, кроме «3» и «9» и вновь вычислим суммы разностей потенциалов для точки «9» (результаты измерений приведены в таблице ?). Эта сумма окажется ненулевой, значит резистор \(R_x\) находится между точками «8» и «9», а сумма в точке «3» не равна нулю ввиду влияния только резистора \(r\).

Таблица 1.Проверка суммы разности потенциалов для точки «9» при подключении «плюса» батарейного блока к точке «10». Все значения приведены в милливольтах.

Рассчитаем номинал резисторов \(R\). Для этого снова обратимся к точке «3». Ток, втекающий в эту точку, равен \[I=\frac{\Delta\varphi_{13}}{r}=I_{32}+I_{34}+I_{38}=\frac{1}{R}\left(\Delta\varphi_{32}+\Delta\varphi_{34}+\Delta\varphi_{38}\right),\qquad(4) \tag{3}\] \[R=\frac{r}{\Delta\varphi_{13}} \left(\Delta\varphi_{32}+\Delta\varphi_{34}+\Delta\varphi_{38}\right)=2.16~кОм \qquad(5) \tag{4}\]

Ответ:

\[R=2.16~кОм\]

3.

4. Аналогичным образом, рассмотрев узел «8», запишем уравнение для поиска \(R_x\): \[I_{98}=\frac{\Delta\varphi_{98}}{R_x}= I_{8\,13}+I_{87}+I_{83} =\frac{1}{R}\left(\Delta\varphi_{8\,13}+\Delta\varphi_{87}+\Delta\varphi_{83}\right), \qquad(6)\tag{5}\] \[R_x=R \frac{\Delta\varphi_{98}}{\left(\Delta\varphi_{8\,13}+\Delta\varphi_{87}+\Delta\varphi_{83}\right)} = 10.8~кОм \qquad(7) \tag{6}\]

Ответ:

\[R_x= 10.8~кОм\]

Таблица 2. Таблица измеренных разностей потенциалов для всех соседних пар точек. Все значения приведены в милливольтах. Зеленым и желтым цветом выделены узлы, для которых сумма разностей потенциалов не равна нулю. Красным отмечена разность потенциалов между точками, не соединенными резисторами.

Источник: pho.rs/p/4916.