Стрела прогиба
5/10В данной задаче не требуется оценка погрешностей.
Представим жестко закрепленную с одного конца балку (рис. 1). Этот конец должен быть зафиксирован так, чтобы он был неподвижен, и при этом плоскость балки в креплении зафиксирована горизонтально. Пусть на противоположный незакрепленный конец балки к некоторой точке вертикально вверх приложена сила \(F\). Тогда балка изогнётся, и точка приложения силы сместится на некоторое расстояние \(h\). Оно будет зависеть от расстояния \(l\) между закрепленным концом и этой точкой в соответствии с законом: \[h=\alpha F^n l^k,\] где \(\alpha\) – размерный коэффициент, \(k\) и \(n\) – целые числа. Будем считать, что вертикальное смещение конца балки под собственным весом мало по сравнению со смещением под действием приложенной силы.
Рис. 1: Изгиб балки под действием приложенной силы
Рис. 2: Крепление конца линейки в лапке с использованием батарейки
1. Проведите необходимые опыты и рассчитайте величины \(n\), \(\alpha\) и \(k\).
Оборудование:
Штатив с муфтой и лапкой
Балка (пластиковая линейка \(30~см\))
Электронные весы
Две батарейки «крона»
Деревянная линейка \(30~см\) для измерения размеров
Чтобы закрепить конец линейки в лапке, используйте одну из батареек «крона» (рис. 2).
▶Показать разборСкрыть разбор
Решение1. Соберем установку, изображенную на рисунке 3. Для этого закрепим линейку горизонтально в лапке штатива. Поставим на весы батарейку.
Рис. 3. Установка для измерения упругости балки
Для этого закрепим линейку горизонтально в лапке штатива. Поставим на весы батарейку. В первом опыте установим весы с батарейкой так, чтобы батарейка располагалась ровно под свободным концом линейки длиной \(l_0 = 28~см\) и касалась его. Обнулим показания весов. Будем опускать лапку штатива на некоторое расстояние \(h\). Именно на это расстояние сместится незакрепленный конец линейки по вертикали (рис. 4).
Рис. 4. Настройка экспериментальной установки
Показания весов \(m\) при этом изменятся. Значение силы можно будет рассчитать как: \[F=mg\qquad(2)\]Измерим зависимость показаний весов от расстояния \(h\) и построим график измеренной зависимости,
\(h,~см\) 0.3 0.5 0.7 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.1 \(m,~г\) 0.9 2.4 3.9 4.8 6.5 7.4 8.6 10.1 11.7 13.3 
Видно, что график можно описать линейной функцией. Небольшое смещение может быть обусловлено неточностью в установке нулевой позиции лапки штатива. Таким образом можно сделать вывод, что степень \(n=1\). Угловой коэффициент графика при этом составляет:
\[\beta=\alpha g l^k=0.145 \ см/г=1.45 \ м/кг.\qquad(3)\]
Проведем второй опыт. Вновь установим лапку в положение, когда плоскость линейки во всех ее точках едва касается батарейки, стоящей на весах. Сместим лапку штатива вниз на небольшое расстояние около \(3~мм\). Будем перемещать весы с батарейкой ближе к лапке штатива вдоль линейки и измерим зависимость показаний весов от расстояния между крайней точкой зажатия линейки и местом касания линейки и батарейки. Занесем данные в таблицу.
\(l,~м\) \(m,~г\) \(l^{-1},~м^{-1}\) \(l^{-2},~м^{-2}\) \(l^{-3},~м^{-3}\) \(l^{-4},~м^{-4}\) 0.29 5.80 3.5 12 41 141 0.28 6.61 3.6 13 46 163 0.27 7.71 3.7 14 51 188 0.26 8.85 3.9 15 57 219 0.25 10.30 4.0 16 64 256 0.24 12.50 4.2 17 72 301 0.23 14.17 4.4 19 82 357 0.22 16.63 4.6 21 94 427 0.21 19.85 4.8 23 108 514 0.20 23.55 5.0 25 125 625 0.19 27.70 5.3 28 146 767 0.18 32.50 5.6 31 171 953 0.17 38.00 5.9 35 204 1197 0.16 46.16 6.3 39 244 1526 0.15 58.20 6.3 44 296 1975 Заметим, что показания весов увеличиваются с уменьшением расстояния \(l\), то есть зависимость является обратной. Для поиска степени рассчитаем значения длин \(l\) в разных степенях от минус первой до минус четвертой. Построим графики зависимости показаний весов от расчетных значений, возведенных в степень \(l\).
Видно, что график \(m(l^{-3})\) наиболее близок к прямой пропорциональности. Следовательно, будем считать степень зависимости прогиба линейки от ее длины равной \(k=3\).
Окончательно, рассчитаем коэффициент \(\alpha\):
\[\alpha=\frac{\beta }{g l_0^3}=6.7 \ \frac{1}{\text{Н}\cdot\text{м}^2}.\qquad(4)\]
Ответ:
\[n=1\]\[k=3\]\[\alpha=6.7 \ \frac{1}{\text{Н}\cdot\text{м}^2}\]
Источник: pho.rs/p/4913.
Похожие задачи
- Шарик падает на пружину МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Груз на пружине МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Прогиб деревянной рейки ВсОШ 1992/2001, 10 кл.
- Прочность нити ВсОШ 1992/2001, 10 кл.
- Модуль Юнга проволоки ВсОШ 1992/2001, 9 кл.
- Испытание альпинистской верёвки МОШ 1992/93, 9 кл.