Равнодействующая ста и пятидесяти сил

Силы образуют арифметические последовательности: \(F_n = n\cdot 1\) Н и \(F'_n = 3n\) Н. Сумма целых чисел от \(1\) до \(N\) равна \(\dfrac{N(N+1)}{2}\).

Силы \(F_1, \dots, F_{100}\) можно записать как \(F_n = n f_0\), где \(n\) — целое число, \(f_0 = 1\) Н. Суммируя, получаем \[F_1 + F_2 + \dots + F_{100} = (1 + 2 + \dots + 100) f_0 = \frac{100\cdot 101}{2} f_0 = 5050\,f_0.\] Силы \(F'_1, \dots, F'_{50}\) можно записать как \(F'_n = 3n f_0\), поэтому \[F'_1 + F'_2 + \dots + F'_{50} = 3(1 + 2 + \dots + 50) f_0 = 3\cdot\frac{50\cdot 51}{2} f_0 = 3825\,f_0.\] Равнодействующая направлена так же, как силы \(F_1, \dots, F_{100}\), и равна \[F_р = 5050\,f_0 - 3825\,f_0 = 1225\,f_0 = 1225~\text{Н}.\]