Задачи › Сила Лоренца, движение частиц в магнитном поле

Бусинки на вращающемся стержне в магнитном поле

  1. Бусинки на вращающемся стержне в магнитном поле

    Физтех 2017/18, 11 кл.
    6/10

    Две бусинки, каждая с положительным зарядом \(q\) и массой \(m\), могут скользить без трения по жёсткому, непроводящему стержню. Систему помещают в однородное магнитное поле с индукцией \(B\) и приводят во вращение с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг оси \(O\), перпендикулярной стержню и параллельной направлению магнитного поля (см. рис.). Оказалось, что шарики находятся в равновесии (относительно стержня) на одном и том же расстоянии \(R\) от оси \(O\) при двух значениях угловой скорости \(\omega_1\) и \(\omega_2\).

    Рисунок

    1. Найти заряд \(q\), считая известными \(m, B, \omega_1\) и \(\omega_2\).

    2. Найти \(R\), считая известными \(m, B, \omega_1\) и \(\omega_2\).

    Силой тяжести, силами сопротивления, а также магнитным полем, индуцированным бусинками, пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В системе, вращающейся вместе со стержнем, на бусинку действуют сила Кулона от второй бусинки, сила Лоренца и центробежная сила; приравняйте их сумму нулю для каждой угловой скорости.

    Ответ

    1) \(q = \dfrac{m(\omega_1+\omega_2)}{B}\);  2) \(R = \sqrt[3]{\dfrac{km(\omega_1+\omega_2)^2}{4\omega_1\omega_2 B^2}}\).

    Решение

    Для каждой бусинки в равновесии относительно стержня (расстояние между бусинками \(2R\), сила Кулона \(\dfrac{kq^2}{4R^2}\)): \[q\omega_1 R B - \frac{kq^2}{4R^2} = m\omega_1^2 R, \qquad q\omega_2 R B - \frac{kq^2}{4R^2} = m\omega_2^2 R.\] Перепишем их в виде \[q\omega_1 B - \frac{kq^2}{4R^3} = m\omega_1^2, \qquad q\omega_2 B - \frac{kq^2}{4R^3} = m\omega_2^2.\] Исключая \(R\) из системы двух последних уравнений, находим \[q = \frac{m(\omega_1+\omega_2)}{B}.\] Подставив это выражение для \(q\) в любое уравнение системы, получим \[R = \sqrt[3]{\frac{km(\omega_1+\omega_2)^2}{4\omega_1\omega_2 B^2}}.\] Замечание. Можно рассмотреть квадратное уравнение относительно \(\omega\) и использовать теорему Виета.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх