Чёрный ящик с батарейкой

1) Из условия задачи вытекает, что:

— никакие две клеммы не могут быть подключены только к батарейке (иначе бы амперметр при подключении к этим клеммам зашкаливало);

— никакие две клеммы не могут быть соединены друг с другом только соединительным проводом (иначе бы два тока из трёх совпадали).

Поэтому невозможны следующие схемы, изображённые на рисунке 1:

2) Далее, если схема состоит из нескольких отдельных частей, то все три клеммы должны быть подключены к той её части, которая содержит батарейку. Поэтому, с учётом изложенного в пункте 1), также невозможны следующие схемы (см. рис. 2):

3) В итоге нам осталось рассмотреть следующие схемы (см. рис. 3).

Поскольку между клеммами 2 и 3 включено только сопротивление, то в случаях (а) и (б) клеммы 1, 2 и 3 могут располагаться так, как показано на рисунке 4.

Заметим, что схемы 1, 2, 6 эквивалентны друг другу (также эквивалентны друг другу схемы 3, 4, 5). Поэтому для решения задачи достаточно рассмотреть всего три схемы — по одной, соответствующей случаям, изображённым на рисунках 3а и 3б (например, схемы 1 и 4 с рисунка 4) и схему с рисунка 3в. Проделаем это. Запишем (с учётом условия задачи) закон Ома для первой схемы (рисунок 4, схема 1): \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1},\quad 2I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2}.\] При решении этой системы уравнений значение \(R_2\) получается отрицательным. Значит, такое соединение невозможно. Аналогично для второй схемы (рисунок 4, схема 4): \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2},\quad 2I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1}.\] Отсюда получаем \(R_1 = R_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{2I}\).

Наконец, для последней схемы (рисунок 3в): \[2I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1},\quad I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_2},\] откуда \(R_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2I}\), \(R_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{I}\).

В итоге получаем, что величины сопротивлений могут быть равны \(R_1 = R_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{2I}\) (батарейка и сопротивления соединены последовательно) или \(R_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2I}\) и \(R_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{I}\) (батарейка и сопротивления соединены «звездой»).