Минимальный путь

Легко сообразить, что путь будет минимальным тогда, когда тело движется по прямой. Действительно, введём прямоугольную систему координат и направим ось \(x\) вдоль вектора ускорения \(\vec a\). Тогда проекции вектора скорости тела на координатные оси зависят от времени \(\tau\) по следующим законам: \(v_x(\tau) = v_{x0} + a\tau\); \(v_y(\tau) = v_{y0}\); \(v_z(\tau) = v_{z0}\). Здесь \(v_{x0}\), \(v_{y0}\), \(v_{z0}\) — проекции скорости тела на соответствующие оси при \(\tau = 0\). Если положить \(v_{y0} = v_{z0} = 0\), то величина скорости тела в каждый момент времени \(\tau\) будет меньше, чем она была бы при отличных от нуля \(v_{y0}\) и \(v_{z0}\). Поэтому будет меньше и пройденный путь. Значит, для решения задачи нужно рассматривать движение тела вдоль прямой, параллельной оси \(x\).

При таком движении возможны три случая, отличающиеся по знакам скорости в течение времени движения \(t\):

а) \(v_x(\tau) > 0\) при \(0 \leqslant \tau \leqslant t\);

б) \(v_x(\tau) < 0\) при \(0 \leqslant \tau \leqslant t\);

в) \(v_x(\tau) < 0\) при \(0 \leqslant \tau < t_0\) и \(v_x(\tau) > 0\) при \(t_0 < \tau \leqslant t\).

Отметим, что во всех случаях \(a > 0\).

В случае (а) пройденный путь совпадает с перемещением и равен \[S_{\text{а}} = v_{x0}t + \dfrac{at^2}{2} \geqslant \dfrac{at^2}{2}.\] В случае (б) пройденный путь — это перемещение, взятое с обратным знаком. Он равен \[S_{\text{б}} = -\left(v_{x0}t + \dfrac{at^2}{2}\right) = -\left((v_{x0} + at)t - \dfrac{at^2}{2}\right) = -\left(v_x(t)t - \dfrac{at^2}{2}\right) = |v_x(t)|\cdot t + \dfrac{at^2}{2} \geqslant \dfrac{at^2}{2}.\] Наконец, в случае (в) пройденный путь складывается из двух отрезков, пройденных телом до и после «точки поворота» (точки, в которой скорость тела обращается в ноль при \(\tau = t_0\)). Первый отрезок пути может быть найден из формулы, полученной при рассмотрении случая (б), при подстановке в неё \(t = t_0\): \(S_{\text{в}1} = |v_x(t_0)|\cdot t_0 + \dfrac{at_0^2}{2} = \dfrac{at_0^2}{2}\) (здесь учтено, что \(v_x(t_0) = 0\)). Второй же отрезок равен \(S_{\text{в}2} = \dfrac{a(t - t_0)^2}{2}\). Таким образом, пройденный путь в случае (в) равен \[S_{\text{в}} = S_{\text{в}1} + S_{\text{в}2} = \dfrac{at_0^2}{2} + \dfrac{a(t - t_0)^2}{2} = a\left(\left(t_0 - \dfrac{t}{2}\right)^2 + \dfrac{t^2}{4}\right) \geqslant \dfrac{at^2}{4}.\] Значит, минимальным является путь, который тело проходит в случае (в). Он равен \(S = at^2/4\), причём «точка поворота» должна приходиться на середину промежутка времени движения \(t\).