Задачи › Плавление и кристаллизация

Нелинейное плавление (теоретический тур)

  1. Нелинейное плавление (теоретический тур)

    Максвелл 2018/19, 8 кл.
    6/10

    В калориметре со встроенным нагревателем расплавили некоторое вещество. На рисунке приведены графики зависимости мощности \(N\) нагревателя от времени \(\tau\) его работы и температуры \(t\) вещества от переданного ему количества теплоты \(Q\). Найдите отношение теплоёмкостей вещества в твёрдом и жидком состоянии. Определите, сколько времени длился процесс плавления \(\tau_{\text{п}}\), считая известным время \(\tau_0\). Постройте график зависимости температуры вещества от времени, указав на нём величины \(\tau\) и \(t\) в характерных точках.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Теплоёмкость — отношение переданной теплоты к изменению температуры, то есть обратный наклон графика \(t(Q)\). Площадь под графиком \(N(\tau)\) равна переданной теплоте. Сначала найдите, когда вещество достигнет температуры плавления.

    Ответ

    \(C_{\text{тв}}/C_{\text{ж}} = 1/2\);  \(\tau_{\text{п}} = \left(\tfrac{5}{2} - \sqrt{2}\right)\tau_0 \approx 1{,}1\,\tau_0\). График: \(t = 0\) при \(\tau = 0\); \(t = t_0\) при \(\tau = \sqrt{2}\,\tau_0\); плато \(t = t_0\) до \(\tau = 2{,}5\,\tau_0\); \(t = 1{,}5\,t_0\) при \(\tau = 3\tau_0\).

    Решение

    Теплоёмкость \(C = Q/t\). По графику (б) в твёрдой фазе \(C_{\text{тв}} = Q_0/t_0\), в жидкой на участке от \(3Q_0\) до \(4Q_0\) температура растёт на \(t_0/2\), поэтому \(C_{\text{ж}} = Q_0/(t_0/2) = 2C_{\text{тв}}\), и \(C_{\text{тв}}/C_{\text{ж}} = 1/2\).

    Площадь под графиком (а) даёт переданную теплоту: за время работы \(3\tau_0\) выделилось \(4Q_0\), то есть \(4N_0\tau_0 = 4Q_0\), откуда \(N_0\tau_0 = Q_0\). Мощность растёт линейно до \(2N_0\) к моменту \(2\tau_0\), поэтому теплота \(Q_0\), необходимая для нагрева до точки плавления, будет передана за время \(\sqrt{2}\,\tau_0\), когда мощность станет \(\sqrt{2}\,N_0\). Для плавления нужно \(2Q_0\). На интервале от \(\sqrt{2}\,\tau_0\) до \(2\tau_0\) передаётся ещё \(Q_0\) (время \((2 - \sqrt{2})\tau_0\)), далее мощность \(2N_0\) и оставшаяся \(Q_0\) передаётся за \(\tau_0/2\). Итого \(\tau_{\text{п}} = (2 - \sqrt{2})\tau_0 + \tfrac{1}{2}\tau_0 = \left(\tfrac{5}{2} - \sqrt{2}\right)\tau_0 \approx 1{,}1\,\tau_0\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх