Вертушка

Прологарифмируйте \(P=kf^{\,n}\): \(\ln P\) линейно зависит от \(\ln f\), поэтому на бумаге с логарифмическими осями точки ложатся на прямую, наклон которой равен \(n\).

\(n\approx3{,}1\).

Сначала приблизительно выясним, в каком диапазоне напряжений должен работать двигатель, чтобы мощность оставалась в пределах от \(0{,}1\) Вт до \(2\) Вт. Это примерно от \(2\) В до \(7\) В. Решим, изменяя в этом диапазоне напряжение с равными промежутками, взять от \(5\) до \(7\) экспериментальных точек. Запишем в таблицу напряжение на двигателе \(U\), силу тока \(I\) и показание тахометра \(t\) и вычислим по ним мощность двигателя \(P=UI\) и истинную частоту вращения \(f=t/2\). (У вертушки две лопасти, поэтому интенсивность лазерного пятна меняется с частотой вращения в два раза чаще.)

Нанесём экспериментальные точки (мощность \(P\) в зависимости от частоты вращения \(f\)) на систему осей с логарифмическими делениями и заметим, что точки лежат примерно на прямой. Действительно, если взять логарифм закона \(P=kf^{\,n}\), получаем линейную связь между \(\ln P\) и \(\ln f\): \[\ln P=\ln k+n\ln f.\] Проведём через экспериментальные точки прямую и измерим её наклон \(n\). Если деления осей \(x\) и \(y\) нарисованы в одинаковом масштабе, для вычисления наклона достаточно частного длин \(h\) и \(s\), измеренных на бумаге линейкой: \[n=\frac hs=3{,}1.\] В более общем случае для вычисления наклона надо найти отношение изменений логарифмов (например, на графике в отрезках, отмеченных красным): \[n=\frac{\ln14{,}5-\ln2{,}5}{\ln3{,}5-\ln2{,}0}=3{,}1.\] Примечание: при вычислении разностей логарифмов не надо беспокоиться об единицах. Единицы сокращаются, так как \(\ln a-\ln b=\ln a/b\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.