Три шайбы

Найдите скорость правой шайбы после первого соударения при малых \(v\), когда левая и средняя шайбы останавливаются на шероховатом участке. Излом графика связан с тем, что средняя шайба догоняет правую после перехода на гладкую часть.

Первое соударение происходит между средней и правой шайбами. Законы сохранения энергии и импульса дают скорость правой шайбы после удара \[u_0 = \frac{1-\alpha}{1+\alpha}\,v.\] При \(\alpha \ge 1\) правая шайба остановилась бы или продолжила движение влево, а график \(u(v)\) имел бы нулевой участок вблизи \(v=0\); так как график линейно растёт сразу при \(v>0\), заключаем, что \(\alpha < 1\) и \(u_0 > 0\).

При малых \(v\) левая и средняя шайбы останавливаются на шероховатой части стола, и \(u(v)\) линейна, как написано выше. Второе соударение (средней шайбы с правой) возможно, если средняя шайба после перехода на гладкую часть имеет скорость \(v_0 > u_0\). Скорость средней шайбы при переходе определяется потерями на трении: \[v_0 = \sqrt{v^2 - 2\mu gL}.\] Условие \(v_0 = u_0\) при \(v = v_*\) даёт \[v_* = \frac{1+\alpha}{2\sqrt{\alpha}}\sqrt{2\mu gL}.\] Обозначим \(x = \sqrt{\alpha}\) и \(\beta = v_*/\sqrt{2\mu gL}\): получаем \(x^2 - 2\beta x + 1 = 0\), откуда \(x = \beta\pm\sqrt{\beta^2-1}\). Так как \(\alpha<1\), то \(x<1\), и произведение корней равно единице, поэтому берём меньший корень: \[\alpha = \left(\beta - \sqrt{\beta^2-1}\right)^2.\]