Нагрев жидкости в сосуде

Жидкость — проводник длины \(h(T)\) и сечения \(S\). Мощность тока постоянна при каждом \(T\), а тепло идёт на нагрев: \(\Delta Q = cm\,\Delta T\). Разбейте интервал температур на малые части и просуммируйте время нагрева.

Объём увеличивается на \(10\%\) при температуре \[T_к = T_0 + \frac{0{,}1}{\alpha}.\] Высота столба жидкости \(h(T) = \dfrac{V_0}{S}[1+\alpha(T-T_0)]\), сопротивление \(R(T) = \dfrac{\rho h(T)}{S}\), мощность \(P(T) = U^2/R(T)\). На малом участке \(\Delta T\) за время \(\Delta t_i\) выделяется тепло \(P(T_i)\Delta t_i = cm\,\Delta T\), так что \(\Delta t_i = \dfrac{cmR(T_i)}{U^2}\Delta T\), откуда \[\Delta t_i = \frac{cm\rho V_0}{U^2S^2}\,\bigl[1+\alpha(T_i-T_0)\bigr]\,\Delta T.\] Суммируя по всем отрезкам и переходя к пределу (геометрически — площадь под графиком \(R(T)\)), получаем полное время \[t = \frac{cm\rho V_0}{U^2S^2}\int_{T_0}^{T_к}\bigl[1+\alpha(T-T_0)\bigr]\,dT = \frac{cm\rho V_0}{U^2S^2}\left(\frac{0{,}1}{\alpha}+\frac{0{,}005}{\alpha}\right) = \frac{0{,}105\,cm\rho V_0}{U^2S^2\alpha}.\]