Ракета на орбите

Тяга должна быть направлена вдоль радиуса орбиты. Запишите второй закон Ньютона для круговой орбиты до и после включения двигателя и исключите \(GM\) из обоих уравнений.

При выключенном двигателе на ракету действует только сила тяготения. Второй закон Ньютона для круговой орбиты радиуса \(R_0\) со скоростью \(V\): \[\frac{mV^2}{R_0} = \frac{GmM}{R_0^2}.\] При включённом двигателе орбита остаётся окружностью, а скорость не меняется, значит сила тяги направлена вдоль линии «ракета — центр планеты»: к планете (\(f = F\)) или от неё (\(f = -F\)). Для новой орбиты радиуса \(R\): \[\frac{mV^2}{R} = \frac{GmM}{R^2} + f.\] Подставляя \(GM\) из первого уравнения и умножая на \(R^2\), получаем квадратное уравнение на \(R\). Его решения: \[R = \frac{mV^2}{2f}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{4R_0 f}{mV^2}}\right).\] Если тяга направлена к планете (\(f = F\)), оба решения допустимы при \(F \le mV^2/(4R_0)\) (иначе ракета упадёт на планету). Если тяга направлена от планеты (\(f = -F\)), решение со знаком «+» отбрасываем, так как \(R > 0\); ограничений на \(F\) нет.