Камушек на наклонной плоскости

Сравните дальность броска под углом \(\beta\) к плоскости с путём скольжения вдоль неё: дальность броска по плоскости максимальна при некотором угле \(\beta\), найдите его и сравните два смещения.

Пусть камушек брошен под углом \(\beta\) к плоскости. Время полёта до касания плоскости \[T = \frac{2V_0\sin\beta}{g\cos\alpha}.\] Расстояние до точки касания вдоль плоскости \[L(\beta) = \frac{V_0^2}{g\cos^2\alpha}\bigl[\sin(\alpha+2\beta)-\sin\alpha\bigr].\] Оно максимально при \(\alpha+2\beta=\pi/2\), то есть при \(\beta = \pi/4 - \alpha/2\), и равно \[S_1 = \frac{V_0^2(1-\sin\alpha)}{g\cos^2\alpha}.\] При скольжении вдоль плоскости ускорение \(a = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\), а путь до остановки \[S_2 = \frac{V_0^2}{2g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.\] Отношение \[\frac{S_1}{S_2} = \frac{2(\mu+\operatorname{tg}\alpha)(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}.\] Если \(S_1/S_2 > 1\), выгоднее бросить камушек под углом \(\pi/4-\alpha/2\); если \(S_1/S_2 < 1\) — запускать его вдоль плоскости.