Тень брошенного тела

Тень сначала движется против направления броска, затем поворачивает. Разбейте путь тени на два участка и для каждого используйте законы равноускоренного движения.

Очевидно, в момент броска тень находится в точке броска, в момент падения — в точке падения тела на землю. Поскольку угол, под которым падают солнечные лучи, меньше угла, под которым бросили тело, тень будет двигаться противоположно движению тела (влево на рисунке в условии), а только затем вправо. Поэтому пройденный тенью путь будет равен сумме удвоенной длины пути тени от точки бросания до самой левой точки и длины пути тени от точки бросания до конечной точки. Найдем эти пути. Для этого воспользуемся законами равноускоренного движения тела.

Выберем ось \(x\) системы координат перпендикулярно солнечным лучам. Тогда координата тени на земле (отсчитанная от точки бросания) определяется соотношением (см. рисунок): \[x_{тени} = \frac{x_{тела}}{\sin\beta} .\]

Поэтому координата тени максимальна (т.е. тень находится на максимальном расстоянии влево от точки бросания), если максимальна координата тела по оси \(x\). Но из законов равноускоренного движения следует, что эта координата определяется соотношением \[x_{тела,max} = \frac{v_x^2}{2\,|a_x|} ,\] где \(v_x\) и \(a_x\) — проекции начальной скорости и ускорения тела на ось \(x\) (ср. с формулой для максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх \(h_{max}=v_0^2/2g\)). Поскольку \[v_x = v\sin(\alpha-\beta), \qquad a_x = -g\cos\beta ,\] получаем \[x_{тени,max} = \frac{v^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta\sin\beta} .\] Используя теперь формулу для дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту, находим окончательно путь, пройденный тенью \[S_{тени} = 2x_{тени,max} + S = \frac{v^2\sin^2(\alpha-\beta)}{g\cos\beta\sin\beta} + \frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\] С помощью формулы сложения аргументов синуса эту формулу можно представить по-другому: \[S_{тени} = \frac{v^2}{g}\left(\sin^2\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta+\cos^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\right) .\]