Цепочка тел на пружинах

Сила упругости соседних пружин, прикрепленных к одному телу, не может отличаться больше, чем на максимальную силу трения. Как это ограничивает удлинения пружин от краев цепочки к середине?

Чтобы тела находились в равновесии при растянутых пружинах, необходимо, чтобы силы упругости одной пружин, прикрепленных к одному телу, отличалась не более чем на максимальную силу трения, действующую на каждое тело. Поэтому для максимального растяжения пружин (чтобы максимальной была длина всей цепочки) получим \[F_{упр,1}-F_{упр,2} = k\,(\Delta x_1-\Delta x_2) = \mu m g ,\] где \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) — удлинения двух соседних пружин. Поэтому максимальные удлинения крайних пружин равны \[\Delta x = \frac{\mu m g}{k} ,\] вторых от краев пружин — \(2\Delta x\), третьих — \(3\Delta x\) и т.д. (см. рисунок)

Так у нас 20 тел, их соединяют — 19 пружин, т.е. 9 пар плюс одна пружина. Поэтому максимальное удлинение цепочки можно найти так \[\Delta l = 2\left(\Delta x + 2\Delta x + 3\Delta x + \dots + 9\Delta x\right) + 10\Delta x .\] Используя далее формулу для суммы \(N\) целых чисел \[1+2+3+\dots+N = \frac{N(N+1)}{2}\] найдем максимальное удлинение цепочки пружин \[\Delta l = 90\,\Delta x + 10\,\Delta x = 100\,\Delta x .\] Отсюда находим максимальную длину цепочки пружин \[l = 19\,l_0 + 100\,\frac{\mu m g}{k} .\]