Муфта на спице

Поскольку спица невесома и трения нет, спица не действует на муфту. Значит, муфта движется свободно, и нужно найти момент, когда спица перестает ее удерживать.

Поскольку спица невесома и отсутствует трение в шарнире, на спицу со стороны муфты не может действовать сила (в противном случае спица начала бы вращаться с бесконечной угловой скоростью). А это значит, что и спица не действует на муфту. Таким образом муфта должна падать по вертикали с ускорением свободного падения, а спица будет «подстраиваться» под движение муфты (см. рисунок; траектория муфты показана тонким пунктиром). А, следовательно, косинус угла наклона спицы к горизонту \(\alpha\) в момент соскальзывания муфты будет равен \[\cos\alpha = \frac{l}{L} ,\] а проекция скорости муфты на направление, перпендикулярное спице, и будет скоростью конца спицы в этот момент. Скорость муфты найдем по закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mgh ,\] где \(h\) — длина участка траектории муфты до того момента, когда муфта соскользнет со спицы. Геометрически имеем \[h = L\sin\alpha = L\sqrt{1-\frac{l^2}{L^2}} = \sqrt{L^2-l^2} .\] Отсюда находим скорость муфты в этот момент \[v = \sqrt{2g\sqrt{L^2-l^2}} ,\] а затем и скорость конца спицы \[v_c = v\cos\alpha = \frac{l}{L}\sqrt{2g\sqrt{L^2-l^2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{3}\,gL} .\]