Линза превращает четырёхугольник в квадрат

Изображение будет квадратом, если изображения противоположных сторон параллельны, а изображения диагоналей взаимно перпендикулярны. Начните с построения изображений отрезков с помощью лучей, идущих вдоль самих отрезков.

Очевидно, изображение четырёхугольника будет квадратом, если: (1) изображения противоположных сторон будут параллельны, (2) угол между изображениями пар противоположных сторон будет равен \(90^\circ\), (3) угол между изображениями диагоналей четырёхугольника также будет равен \(90^\circ\). Установим, в каких случаях условия (1), (2) и (3) выполняются.

(1) Пусть есть тонкая собирающая линза и два непараллельных отрезка. Построим их изображения и поймём, когда они будут параллельными. Для построения изображений отрезков возьмём лучи, идущие вдоль самих отрезков. Тогда каждый из таких лучей проходит и через один конец отрезка, и через другой, и, следовательно, изображение отрезков будет лежать на этих лучах после их прохождения линзы (такие лучи показаны на рисунке пунктиром). Но чтобы два луча после прохождения собирающей линзы были параллельны, до линзы они должны пересекаться в её фокальной плоскости. Это значит, что точки пересечения (\(A\) и \(B\) на рисунке) принадлежат фокальной плоскости линзы (показана штрихпунктирной линией), а сама линза лежит справа от прямой \(AB\) (в качестве примера показано одно из возможных расположений линзы, причём её фокусное расстояние должно равняться расстоянию от линзы до прямой \(AB\)).

Итак, после прохождения линзы изображение четырёхугольника будет параллелограммом. Установим, когда это изображение будет прямоугольником. Оно будет прямоугольником тогда, когда лучи, вышедшие из точек \(A\) и \(B\) и проходящие через центр линзы, будут перпендикулярны друг другу. Действительно, эти лучи не преломляются, а все остальные лучи, проходящие через точки \(A\) и \(B\), после прохождения линзы будут им параллельны. Поэтому центр линзы может лежать в любой точке, принадлежащей полуокружности, проходящей через точки \(A\) и \(B\).

Итак, изображение четырёхугольника в линзе, приведённой на последнем рисунке, будет прямоугольником, причём таких положений линзы будет ещё много (её центр может располагаться в любой точке этой окружности). Можно ли подобрать её такое расположение, чтобы изображение четырёхугольника было квадратом? Для этого надо, чтобы изображения диагоналей четырёхугольника были перпендикулярны друг другу, а для этого угол между лучами, вышедшими из точек \(C\) и \(D\) и проходящими через центр линзы, должен быть прямым. Значит, центр линзы должен лежать на полуокружности, проходящей через точки \(C\) и \(D\).

Поскольку все построения проводились в правильном масштабе, рисунок можно использовать для оценки фокусного расстояния линзы. Из рисунка находим, что расстояние от линзы до её фокальной плоскости составляет около двух диагоналей одной клетки, т.е. \(F \approx 3\) см.