Пушка и пружина

Закон сохранения импульса в горизонтальном направлении при выстреле и кинематика свободного падения снаряда.

1. Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. 2. Размеры снаряда малы по сравнению с длиной траектории, поэтому снаряд можно описывать моделью материальной точки. 3. Ствол пушки при отдаче движется поступательно, поэтому его движение можно описывать движением материальной точки массой \(M\). 4. Так как выстрел происходит мгновенно и в горизонтальном направлении не действуют никакие силы, в этом направлении выполняется закон сохранения импульса для системы «снаряд + пушка». 5. По условию задачи доля энергии отдачи пушки расходуется на сжатие пружины. Поэтому потенциальная энергия сжатой пружины равна этой доле кинетической энергии пушки сразу после выстрела. 6. После вылета из пушки снаряд будет двигаться только под действием силы тяжести (сопротивление воздуха в условиях задачи пренебрегаем), значит, движение снаряда при помощи формул кинематики описываем так: по вертикали тело движется равноускоренно с ускорением \(g\), поэтому движение описываем формулами кинематики прямолинейного равноускоренного движения; по горизонтали никакие силы не действуют, поэтому движение описываем формулами кинематики прямолинейного равномерного движения.

Пусть \(v_п\) и \(v_с\) — начальные скорости пушки и снаряда, \(m_п\), \(m_с\) — массы пушки и снаряда. Энергия сжатой пружины равна \(\frac{kx^2}{2}\), где \(x\) — сжатие пружины, \(k\) — жёсткость пружины. Кинетическая энергия тела \(E_k = \frac{mv^2}{2}\). Энергия отдачи пушки равна \[\frac{m_п v_п^2}{2} = \frac{kx^2}{2\eta}, \quad \text{откуда} \quad m_п = \frac{kx^2}{v_п^2\eta}.\] Найдём начальную скорость пушки из закона сохранения импульса: \(m_п v_п = m_с v_с\), следовательно, \(v_п = \frac{m_с v_с}{m_п}\). Значит, \[m_п = \frac{kx^2 m_п^2}{v_с^2 m_с^2 \eta}, \quad \text{откуда} \quad m_п = \frac{v_с^2 m_с^2 \eta}{kx^2}.\] На снаряд действует только сила тяжести, поэтому время падения \(t\) и высота \(h\), с которой он падает, связаны формулой \(h = \frac{gt^2}{2}\), откуда \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\). После выстрела на снаряд вдоль горизонтальной оси не действуют никакие силы, поэтому дальность полёта \(L\) связана с горизонтальной составляющей скорости: \(v_с = \frac{L}{t} = \sqrt{\frac{g}{2h}}\,L\).

Подставим выражение для скорости снаряда в выражение для массы пушки: \[m_п = \frac{gL^2}{2h}\cdot\frac{m_с^2\eta}{kx^2}.\] Подставив числовые значения, получим \(m_п = 1000\) кг.