Шайба Лоренца

Удобно перейти к условной вертикали вдоль наклонной плоскости. В установившемся режиме сумма сил Лоренца, трения и эффективной силы тяжести равна нулю; сила Лоренца перпендикулярна скорости, а трение ей противоположно.

Рассмотрим движение шайбы по наклонной плоскости (будем считать, что она «горизонтальна»). При таком подходе вектор \(\vec g\) следует заменить на так называемый «эффективный» вектор \(\vec g^{\,*}\), действующий вниз вдоль наклонной плоскости (к её основанию) и равный по модулю \(g^* = g\sin\alpha\). Данное направление называется условной (эффективной) вертикалью.

На начальном этапе (при небольшой скорости) шайба будет скользить вниз по условной вертикали (к основанию наклонной плоскости), поскольку на этом этапе сила Лоренца сравнительно мала. Однако по мере разгона шайбы будет увеличиваться сила Лоренца, которая согласно правилу левой руки будет всё сильнее «отклонять» шайбу в сторону.

Заметим, что при этом будет увеличиваться вертикальная проекция силы Лоренца \(\vec F_{\text{Л}}\), притормаживающая шайбу. Соответственно, при некоторой скорости \(\vec v^*\) разгон шайбы прекратится, т.е. её скорость перестанет изменяться как по модулю, так и по направлению. Поскольку на шайбу действуют три силы, то в установившемся режиме (\(\vec a = \vec 0\)) их сумма должна быть равна нулю. Следовательно, \[\vec F_{\text{Л}} + \vec F_{\text{тр}} + m\vec g^{\,*} = \vec 0.\]

Поскольку сила трения скольжения \(\vec F_{\text{тр}}\) направлена против вектора скорости \(\vec v^*\), а сила Лоренца \(\vec F_{\text{Л}}\) перпендикулярна ему, то треугольник сил на рисунке будет прямоугольным. Запишем для него теорему Пифагора: \[m^2 g^2 \sin^2\alpha = q^2 (v^*)^2 B^2 + \mu^2 m^2 g^2 \cos^2\alpha.\] Откуда находим модуль установившейся скорости шайбы: \[v^* = \frac{mg}{qB}\sqrt{\sin^2\alpha - \mu^2\cos^2\alpha} = 9{,}4\text{ м/с}.\] Поскольку скорость — векторная величина, то обязательно нужно указать её направление на наклонной плоскости. Для этого из прямоугольного треугольника сил вычислим угол \(\beta\) с «вертикалью»: \[\beta = \arccos\left(\frac{\mu m g\cos\alpha}{m g\sin\alpha}\right) = 46^\circ.\]