Электронаклонный маятник

Запишите потенциальную энергию бусинки как сумму гравитационной и кулоновской частей и найдите точку её минимума. Для малых колебаний разложите кулоновскую силу вблизи этой точки.

Для нахождения положения равновесия проанализируем зависимость потенциальной энергии \(U(l)\) от расстояния между точечным зарядом и заряженной бусинкой: \[U(l) = mgl\sin\alpha + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{qQ}{l}.\] Для этого найдём минимум функции \(U(l)\), используя производную: \[\frac{dU}{dl} = mg\sin\alpha - \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 l^2} = 0.\] Отсюда равновесное расстояние между зарядами: \[l_0 = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0\, mg\sin\alpha}} = 134\text{ см}.\] Отметим, что данный результат можно было получить и без использования производной, записав проекцию второго закона Ньютона на стержень: \[m a_\xi = -mg\sin\alpha + \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 l^2} = 0.\] Для нахождения периода колебаний вблизи этого положения равновесия рассмотрим малое отклонение \(\xi\) от положения равновесия: \[m\ddot\xi = -mg\sin\alpha + \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 (l_0 + \xi)^2} = -mg\sin\alpha + \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 l_0^2}\left(1 + \frac{\xi}{l_0}\right)^{-2}.\] Воспользуемся разложением \((1 + x)^{-2} \approx 1 - 2x\), справедливым при малых \(x\): \[m\ddot\xi = -\frac{qQ\,\xi}{2\pi\varepsilon_0 l_0^3}.\] Получили, что возвращающая сила прямо пропорциональна величине смещения от положения равновесия, что означает, что малые колебания такой системы являются гармоническими, с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0 l_0^3 m}{qQ}} = 2{,}3\text{ с}.\]