Термомеханический делитель

Работа газа при смещении поршня равна потенциальной энергии пружины. Запишите первое начало термодинамики и условие равновесия поршня в конце процесса.

Рассмотрим промежуточное положение поршня, когда он сместился на величину \(y\) от своего первоначального положения. Пусть при этом давление газа в правой части сосуда равно \(p_2\), а в левой — \(p_1\). Поскольку поршень при этом находится в равновесии, то сумма сил, действующих на поршень, равна нулю: \[(p_2 - p_1)\,S - k y = 0,\] где \(S\) — площадь поршня. При последующем небольшом перемещении поршня \(\Delta y\) полная работа газа \(\Delta A = \Delta A_1 + \Delta A_2\), где \(\Delta A_2\) — работа газа правой части, \(\Delta A_1\) — работа газа левой части, причём \[\Delta A_1 + \Delta A_2 = p_2\,\Delta y\,S - p_1\,\Delta y\,S = (p_2 - p_1)\,\Delta y\,S = k y\,\Delta y.\] Таким образом, к моменту смещения поршня на величину \(x = l/2\) полная работа газа будет равна потенциальной энергии, запасённой в пружине: \[A = \frac{k}{2}\left(\frac{l}{2}\right)^2.\] Здесь \(l = L = 1\text{ м}\) — длина каждой половины сосуда, а \(a = l/2\) по условию.

Если к газу в правой части подвели количество теплоты \(Q\), а газ в левой части передал количество теплоты \(Q'\) термостату, то полное сообщённое системе количество теплоты будет \(Q - Q'\), и можно написать (1-й закон термодинамики) \[Q - Q' = \frac{k}{2}\left(\frac{l}{2}\right)^2 + \Delta U,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа. Поскольку поршень нетеплопроводящий, то температура газа слева не меняется, и всё изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\) обусловлено нагревом газа справа на \(\Delta T\), причём для \(n\) молей идеального газа \(\Delta U = n\cdot\dfrac{3}{2}R\,\Delta T\).

Повышение температуры \(\Delta T\) найдём из условия равновесия в конце процесса. Давление газа \(p\) в правой части сосуда в соответствии с законом Менделеева–Клапейрона равно \[p = \frac{nR(T + \Delta T)}{S\left(l + \frac{l}{2}\right)}.\] С другой стороны, оно должно быть равно сумме давления газа слева \(p' = \dfrac{nRT}{S\left(l - \frac{l}{2}\right)}\) и давления, создаваемого пружиной, \(p'' = \dfrac{kl}{2S}\), т.е. \[\frac{2nR(T + \Delta T)}{3Sl} = \frac{2nRT}{Sl} + \frac{kl}{2S}.\] Отсюда находим, что \(\Delta T = 2T + \dfrac{3kl^2}{4nR}\), и получаем \[Q' = Q - 3nRT - \frac{5}{4}\,k l^2.\] Доля теплоты: \[\eta = \frac{Q'}{Q}\cdot 100\% = 100\%\cdot\left(1 - \frac{3nRT + \frac{5}{4}kl^2}{Q}\right) \approx 50\%.\]