Сверхпроводящие рельсы

Мощность на резисторе равна \(I^2R\), а скорость изменения кинетической энергии стержня равна \(m v_x a_x\). Выразите скорость и ускорение стержня через силу тока \(I\).

При движении проводника длины \(L\) со скоростью \(v\) в магнитном поле в нём наводится ЭДС индукции, равная \[\mathcal{E}_{\text{инд}} = vBL.\] В установившемся режиме ЭДС индукции и ЭДС источника равны друг другу, ток в цепи отсутствует, ускорение стержня равно нулю. Отсюда получаем \[\mathcal{E} = v_1 B L = 1\text{ В}.\] Запишем второе правило Кирхгофа и второй закон Ньютона для случая движения стержня под действием внешней силы и выразим через силу тока мгновенную скорость и ускорение перемычки: \[\mathcal{E} - v_x B L = I R \quad\Rightarrow\quad v_x = \frac{\mathcal{E} - IR}{BL}, \qquad m a_x = F + I L B \quad\Rightarrow\quad a_x = \frac{F + ILB}{m}.\] Условие равенства мощности, выделяющейся на резисторе, и скорости изменения кинетической энергии запишется в виде \[I^2 R = m v_x a_x.\] С учётом выражений для мгновенной скорости и ускорения получаем \[I^2 R = \frac{(\mathcal{E} - IR)(F + ILB)}{BL} \quad\Rightarrow\quad I = \frac{\sqrt{\left(\dfrac{FR}{BL} - \mathcal{E}\right)^2 + \dfrac{8FR\,\mathcal{E}}{BL}} - \dfrac{FR}{BL} + \mathcal{E}}{4R} = 10\text{ мА}.\]