Три сосуда с маслом

Давление у дна зависит от полной высоты столба жидкости. Слой масла \(h\) эквивалентен слою воды \(\rho_0 h/\rho_1\); найдите, как распределится эта дополнительная высота по трём сосудам.

С точки зрения давления в жидкости наливание в сосуд слоя масла толщиной \(h\) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(\rho_0 h/\rho_1\). Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной \(4h\) (в левый и правый сосуды) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(h_1 = \dfrac{4\rho_0 h}{\rho_1}\).

Если бы эту воду распределили равномерно по трём сосудам, уровень в каждом поднялся бы на величину \(\dfrac{4\rho_0 h}{3\rho_1}\). Так как в среднем сосуде будет только вода (масло из левого и правого сосудов воду не вытесняет), уровень воды в нём поднимется на \[\Delta h_{\text{ср}} = \frac{4\rho_0 h}{3\rho_1} = 3{,}6\text{ см}.\] При этом давление у дна возрастёт на \[\Delta p = \rho_1 g\,\Delta h_{\text{ср}} = \frac{4}{3}\,\rho_0 g h. \qquad (*)\] Изменение уровня в левом колене найдём из условия увеличения давления на эту величину. В левом сосуде находится слой масла толщиной \(h\), который создаёт давление \(\rho_0 g h\). Поэтому для увеличения давления на \(\frac{4}{3}\rho_0 g h\) в левый сосуд должна войти дополнительная вода, дающая давление \(\frac{1}{3}\rho_0 g h\), то есть слой воды толщиной \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Уровень в левом колене увеличится на \[\Delta h_{\text{лев}} = h + \frac{\rho_0}{3\rho_1}\,h = 3{,}9\text{ см}.\] В правом сосуде появляется дополнительный слой масла толщиной \(3h\), создающий давление \(3\rho_0 g h\). Чтобы давление у дна правого сосуда возросло на величину \(\Delta p\) из (*), из правого сосуда должна уйти вода толщиной \(\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды в правом сосуде поднимется на \[\Delta h_{\text{прав}} = 3h - \frac{5\rho_0}{3\rho_1}\,h = 7{,}5\text{ см}.\] Проверка: сумма подъёмов уровней жидкости во всех сосудах равна налитому, то есть \(4h\): \[\Delta h_{\text{лев}} + \Delta h_{\text{ср}} + \Delta h_{\text{прав}} = h + \frac{\rho_0}{3\rho_1}h + \frac{4\rho_0 h}{3\rho_1} + 3h - \frac{5\rho_0}{3\rho_1}h = 4h.\]