Диод в колебательном контуре

По истечении большого промежутка времени конденсаторы зарядятся до некоторых напряжений \(U_C\), \(U_{2C}\) и ток в цепи прекратится. Запишем второе правило Кирхгофа и закон сохранения заряда: \[\mathcal{E} = U_C + U_{2C},\tag{17} \tag{1}\] \[CU_C = 2CU_{2C}.\tag{18} \tag{2}\] Отсюда получим ответ на первый вопрос: \[U_{2C} = \dfrac{\mathcal{E}}{3}.\tag{19} \tag{3}\] Работа источника тока равна: \[A = \mathcal{E}\Delta q,\tag{20} \tag{4}\] Так как \(\Delta q = 2CU_{2C}\), то: \[A = \mathcal{E}\cdot 2C\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{3} = 2C\dfrac{\mathcal{E}^2}{3}.\tag{21} \tag{5}\] После размыкания ключа \(K_1\) и замыкания ключа \(K_2\), пока диод открыт, в цепи будут происходить свободные затухающие колебания. По условию задачи энергия, которая выделяется в колебательном контуре за один период, намного меньше начальной энергии, запасённой в конденсаторе \(2C\), следовательно можно считать, что за первый полупериод колебания гармонические, то есть сила тока в цепи изменяется по закону: \[I = I_a\sin\omega t,\tag{22} \tag{6}\] Так как затухания малы: \[\omega = \omega_0 = 1/\sqrt{2LC}.\] Найдём амплитуду \(I_a\). По закону сохранения энергии: \[\dfrac{2CU_{2C}^2}{2} = \dfrac{LI_a^2}{2}.\tag{23} \tag{7}\] Из равенств (19) и (23) получим:

\[I_a = \mathcal{E}\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{2C}{L}} = \dfrac{2}{3}\mathcal{E}\sqrt{\dfrac{C}{L}}.\tag{24} \tag{8}\] После одного полупериода, когда сила тока в цепи обратится в ноль, напряжение на диоде станет отрицательным и диод закроется, поэтому ток в цепи прекратится. Запишем аналитически зависимость силы тока от времени: \[I = I_a\sin\omega t\quad\text{при}\quad t \leqslant T/2,\] \[I = 0\quad\text{при}\quad t \geqslant T/2.\] Построим график зависимости силы тока \(I\) в цепи от времени \(t\), учитывая, что затухания малы (рис. 31).

Зная зависимость силы тока от времени, найдём количество теплоты, которая выделится на катушке индуктивности:

\[Q_L = \int\limits_0^{T/2}I^2R\,dt = I_a^2R\int\limits_0^{T/2}(\sin\omega t)^2\,dt = I_a^2R\cdot\dfrac{T}{4},\tag{25} \tag{9}\] \[T \approx 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{2LC}.\] Подставив (24) в (25), получим: \[Q_L = I_a^2R\cdot T/4 = \mathcal{E}^2\dfrac{2}{9}\dfrac{C}{L}R\dfrac{2\pi\sqrt{2LC}}{4} = \dfrac{\pi\sqrt{2}}{9}\sqrt{\dfrac{C^3}{L}}R\mathcal{E}^2.\] В установившемся режиме падение напряжения на диоде будет равно напряжению на конденсаторе, но с противоположным знаком, то есть: \[U_D = -U_{2C(\text{уст})} \approx -\dfrac{\mathcal{E}}{3}.\]