Стержень и вода

Пусть \(S\) — площадь сечения стержня. Вес воды в объёме стержня: \[P = \rho_0(l_1 + l_2)gS.\] Вес стержня: \[P_0 = (\rho_1l_1 + \rho_2l_2)gS.\] Стержень не будет тонуть, если \(P > P_0\), откуда находим: \[l_2 > l_1 = 10\text{ см}.\] Для того, чтобы стержень плавал вертикально, необходимо, чтобы при малом наклоне стержня возникал вращающий момент, стремящийся вернуть его в вертикальное положение. Это возможно, если точка приложения силы Архимеда \(\vec F_{\text{А}}\) находится выше точки приложения силы тяжести \(\vec F_{\text{Т}}\), то есть геометрический центр \(A\) погружённой части расположен выше центра тяжести \(C\) стержня (рис. 28). Это условие можно представить в виде:

\[OA > OC.\tag{14} \tag{1}\] Обозначим за \(L\) глубину подводной части стержня. Тогда: \[L = \dfrac{\rho_1l_1 + \rho_2l_2}{\rho_0} = \dfrac{3}{2}l_1 + \dfrac{1}{2}l_2,\] \[OA = \dfrac{L}{2} = \dfrac{1}{4}(3l_1 + l_2).\] По определению расстояние от точки \(O\) до центра масс равно: \[OC = \dfrac{\rho_1l_1(l_1/2) + \rho_2l_2(l_1 + l_2/2)}{\rho_1l_1 + \rho_2l_2} = \dfrac{3l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2}{2(3l_1 + l_2)}.\] В этих обозначениях условие (14) примет вид: \[(3l_1 + l_2)^2 > 2(3l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2),\] \[3l_1^2 + 2l_1l_2 - l_2^2 < 0.\] С учётом того, что \(l_2 > 0\), получаем ограничение сверху: \[l_2 < 3l_1 = 30\text{ см}.\] Окончательный ответ: \[10\text{ см} < l_2 < 30\text{ см}.\]