Заряженный маятник в вертикальном магнитном поле

Сила Лоренца перпендикулярна скорости, и при малых колебаниях скорость почти перпендикулярна полю. Как поворот направления движения на малом участке траектории зависит от скорости маятника?

В отсутствие магнитного поля плоскость колебаний математического маятника сохраняется. Но если поместить заряженный маятник в вертикальное магнитное поле, то на маятник действует сила, направленная перпендикулярно плоскости колебаний, что приведёт к изменению этой плоскости: сила Лоренца, действующая на маятник, направлена в одну и ту же сторону относительно направления его движения как при движении вперёд, так и при движении назад. Это значит, что сила Лоренца будет поворачивать плоскость колебаний маятника, и такие повороты продолжаются от колебания к колебанию. Аналогичный поворот плоскости колебаний наблюдается у маятника Фуко.

Найдём угол поворота плоскости колебаний. Сила, действующая со стороны магнитного поля на маятник, зависит от его скорости и от угла между скоростью и полем, которые непрерывно меняются при колебаниях. Но при малых колебаниях маятник фактически движется прямолинейно, поэтому угол между вектором скорости маятника и магнитным полем равен \(90^\circ\).

Исследуем, как угол поворота плоскости колебаний зависит от скорости маятника. Рассмотрим малый участок траектории, по которому маятник движется со скоростью \(v\). Со стороны магнитного поля на него действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости, которая сообщит маятнику ускорение в направлении, перпендикулярном скорости, \[a = \frac{qvB}{m} .\] За время \(\Delta t\) прохождения этого участка маятник приобретает перпендикулярную скорость \(a\,\Delta t\) и поворачивается на угол \[\Delta\varphi = \frac{a\,\Delta t}{v} = \frac{qvB}{m}\cdot\frac{\Delta t}{v} = \frac{qB}{m}\,\Delta t .\] Угол поворота каждого малого участка траектории от скорости маятника не зависит, а определяется только временем его прохождения. Угол поворота плоскости колебаний за половину периода, который находится суммированием углов поворота всех малых участков, равен \[\Delta\varphi_{1/2} = \frac{qB}{m}\cdot\frac{T}{2} ,\] где \(T\) — период колебаний маятника, который практически не изменился из-за магнитного поля. Плоскость колебаний маятника совершит полный оборот за \[N = \frac{2\pi m}{qBT}\] периодов колебаний, или за время \[t = NT = \frac{2\pi m}{qB} .\]