Канат в изогнутой трубке

Найдите, как изменяется потенциальная энергия каната при его смещении на малый путь, и приравняйте её изменению кинетической энергии. Для поиска точек с нулевым натяжением мысленно разрежьте канат.

Пусть скорость каната в тот момент, когда он проходит положение, показанное на рисунке, равна \(v\). За малое время \(\Delta t\) канат переместится на величину \(\Delta l = v\,\Delta t\). Его потенциальная энергия уменьшится на \[\Delta\Pi = \Delta m\,g\,4R,\] где \(\Delta m\) — масса кусочка каната длиной \(\Delta l\) (такое уменьшение потенциальной энергии обусловлено тем, что внизу трубы появился кусочек длиной \(\Delta l\), а вверху пропал, все промежуточные кусочки как бы остались на месте). Эту массу находим из пропорции \[\Delta m = \frac{\Delta l}{2\pi R}\,m .\] Отсюда \[\Delta\Pi = \frac{\Delta l}{2\pi R}\,mg\,4R = \frac{2}{\pi}\,mg\,\Delta l = \frac{2}{\pi}\,mg v\,\Delta t .\] По закону сохранения механической энергии это уменьшение потенциальной энергии приводит к увеличению кинетической энергии каната \[\Delta K = \frac{m\left(v+\Delta v\right)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = mv\,\Delta v + \frac{m\,\Delta v^2}{2} \approx mv\,\Delta v ,\] где \(\Delta v\) — изменение скорости каната (слагаемым, содержащим квадрат малой величины \(\Delta v\), пренебрегаем). Из закона сохранения энергии \(\Delta K = \Delta\Pi\) находим ускорение каната \[mv\,\Delta v = \frac{2}{\pi}\,mg\,v\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2}{\pi}\,g .\]

Чтобы найти те точки каната, в которых его натяжение равно нулю, мысленно разрежем канат в какой-то точке и найдём ускорения получившихся частей. Если эти ускорения будут одинаковы, то сила натяжения каната в той точке, в которой мы его разрезали, равна нулю. Ускорение каждого участка определяется отношением проекции его длины на вертикальное направление к его полной длине, умноженным на \(g\), поэтому нужно искать такие точки, для которых эти отношения у верхней и нижней частей каната совпадают.

Пусть мы разрезали канат в точке, характеризуемой углом \(\alpha\), отсчитанным от верхней точки верхней окружности. Длина проекции верхней части каната на вертикальное направление \(l_1 = R\left(1-\cos\alpha\right)\), длина этой части \(L_1 = \alpha R\). Длина проекции нижней части на вертикальное направление \(l_2 = R\left(3+\cos\alpha\right)\), длина нижней части \(L_2 = R\left(2\pi-\alpha\right)\). Условие равенства отношений \[\frac{1-\cos\alpha}{\alpha} = \frac{3+\cos\alpha}{2\pi-\alpha}\] эквивалентно уравнению \[1-\cos\alpha = \frac{2}{\pi}\,\alpha .\] Это уравнение проще всего решить графически: левая часть — косинусоида, сдвинутая вверх, правая — прямая, проходящая через начало координат и точку \((\pi, 2)\). У них три точки пересечения: \[\alpha = 0, \qquad \alpha = \frac{\pi}{2} \qquad \text{и} \qquad \alpha = \pi .\] Первый корень нас не интересует, поскольку он отвечает нулевому натяжению на краю каната. Точки \(M\) (\(\alpha = \pi/2\)) и \(N\) (\(\alpha = \pi\)) лежат на верхней части трубы, а для нижней части каната аналогично находится точка \(P\). Других точек, в которых натяжение равно нулю, нет, так как других пересечений графиков нет.