Кольца на нитях через гладкое кольцо

Сначала найдите силу натяжения нитей из равновесия всей системы колец. Затем рассмотрите равновесие малого кольца и геометрию наклонных участков нитей.

Пусть масса малого кольца \(m\), большого — \(2m\), так как оно изготовлено из той же проволоки и имеет вдвое больший радиус, а значит, и вдвое большую длину. Суммарный вес, удерживаемый нитями, равен \(3m\,g\), а участки нитей от малого кольца до потолка вертикальны и силы натяжения всех трёх нитей одинаковы благодаря симметрии. Значит, сила натяжения каждой нити \(T = mg\).

Рассмотрим теперь равновесие малого кольца. Со стороны нити, огибающей проволоку, на него действуют две одинаковые по величине силы натяжения нити: одна вертикальная, вторая под некоторым углом \(\alpha\) к вертикали. Сумма горизонтальных составляющих этих сил, действующих на кольцо, равна нулю, поскольку они приложены в точках, которые образуют вершины равностороннего треугольника. Поэтому условие равновесия кольца даёт \[3\left(T - T\cos\alpha\right) = mg,\] отсюда \(\cos\alpha = \dfrac{2}{3}\).

Теперь легко найти расстояние между плоскостями колец. Пусть оно равно \(h\). Тогда \[\tg\alpha = \frac{R}{h} = \frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2},\] откуда окончательно \[h = \frac{2R}{\sqrt{5}} .\]