Бревно на дороге и колесо автомобиля

Колесо переезжает бревно благодаря силе трения между колесом и бревном. Сравните условия непроскальзывания на обоих контактах: какой из них нарушится первым?

Чтобы колесо смогло переехать бревно, должны выполняться следующие условия: при контакте с колесом бревно не должно вращаться и не должно скользить по дороге. При выполнении этих условий сила трения \(\vec F_{тр}\) и сила реакции \(\vec N\), действующие на колесо в точке контакта с бревном (и которые можно увеличивать, нажимая на педаль «газа» автомобиля), поднимут колесо, и вместе с силой \(\vec F\), действующей на колесо со стороны автомобиля, заставят его «перевалить» через бревно. На рисунке 1 показаны силы, действующие на колесо со стороны бревна и автомобиля.

Исследуем выполнимость этих условий. На бревно действуют: силы реакции \(\vec N\) и трения \(\vec F_{тр}\) со стороны колеса и силы реакции \(\vec N_1\) и трения \(\vec F_{тр,1}\) со стороны земли (см. рисунок 2). Поскольку силы реакции проходят через центр бревна, из уравнения моментов относительно центра заключаем, что \[F_{тр} = F_{тр,1} \qquad (1)\] а из уравнения сил в проекциях на горизонтальное направление \[N\cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha = F_{тр,1} \qquad (2)\] где \(\alpha\) — угол между силой реакции и поверхностью земли (см. рисунок 2). Отсюда \[F_{тр} = F_{тр,1} = \frac{N\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} .\] Уравнения сил в проекциях на вертикальное направление дают \[N_1 = N\sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = N\sin\alpha + \frac{N\cos^2\alpha}{1 + \sin\alpha} = N .\]

Таким образом, оба условия проскальзывания — между колесом и бревном \(F_{тр} \leq \mu N\) и между бревном и дорогой \(F_{тр,1} \leq \mu N_1\) — будут нарушаться одновременно. Эти условия дают \[\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} \leq \mu .\] Учитывая, что \[\sin\alpha = \frac{R - r}{R + r}, \qquad \cos\alpha = \frac{2\sqrt{Rr}}{R + r},\] получим условие переезда колеса через бревно \[\mu \geq \sqrt{\frac{r}{R}} .\]