Потери в линии электропередач

Выразите долю потерь через сопротивление линии и сопротивление потребителя. Какое изменение напряжения на входе сохранит мощность, передаваемую потребителю?

Пусть сопротивление линии равно \(r\), сопротивление потребителя в первом случае \(R_1\), напряжение на входе линии \(U_1\). Ток в линии по закону Ома \(I_1 = \dfrac{U_1}{r + R_1}\). Мощность потерь \(P_0\), мощность, передаваемая потребителю, \(P_{потр}\), и отношение мощности потерь к мощности потребителя \(\eta_1\) равны \[P_0 = \left(\frac{U_1}{r + R_1}\right)^2 r, \qquad P_{потр} = \left(\frac{U_1}{r + R_1}\right)^2 R_1, \qquad \eta_1 = \frac{P_0}{P_{потр}} = \frac{r}{R_1} .\] Из последней формулы следует, что чтобы понизить долю потерь, нужно увеличить сопротивление потребителя по сравнению с сопротивлением линии. Но если сделать только это, то будет уменьшаться и мощность, передаваемая потребителю. Поэтому, чтобы она не изменилась, нужно увеличить напряжение на входе линии.

Пусть новое напряжение на входе линии \(U_2\), сопротивление потребителя \(R_2\). Имеем \[\left(\frac{U_1}{r + R_1}\right)^2 R_1 = \left(\frac{U_2}{r + R_2}\right)^2 R_2 .\] Так как сопротивление линии в \(\eta\) раз меньше сопротивления потребителя, \(R = r/\eta\), и \[\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\frac{\eta_1}{\eta_2}}\,\frac{1 + \eta_2}{1 + \eta_1} = \frac{1 + \eta_2}{1 + \eta_1}\sqrt{\frac{\eta_1}{\eta_2}} \approx 2{,}15 .\] Сопротивление потребителя при этом увеличивается в \(R_2/R_1 = \eta_1/\eta_2 = 5\) раз. Поскольку множитель перед корнем близок к единице (здесь \(0{,}96\)), обычно считают, что для уменьшения потерь в \(n\) раз нужно повысить напряжение в линии в \(\sqrt{n}\) раз (в нашем случае примерно в \(2{,}24\) раза), а сопротивление потребителя увеличить в \(n\) раз.