Поршни (теоретический тур)

Пока поршни прижаты друг к другу, они движутся как одно целое. Контакт между ними исчезает, когда давление жидкости на каждый поршень уравновешивает силу упругости его пружины.

В исходном положении без жидкости обе пружины сжаты на \(l/4\), и поршни упираются друг в друга. При закачивании первых порций жидкости оба поршня движутся вправо, сохраняя контакт. Пусть \(x\) — смещение поршней. Условие равновесия системы: \[k\left(\dfrac{l}{4} - x\right) + p(2S - S) = k\left(\dfrac{l}{4} + x\right),\] откуда \(p = \dfrac{2kx}{S} = \dfrac{2p_0 V}{V_0}\), где \(p_0 = \dfrac{kl}{S}\), \(V_0 = lS\).

Контакт между поршнями исчезает, если сила давления жидкости на поршни равна силе упругости соответствующих пружин. Это происходит при смещении поршней вправо на расстояние \(x_1\) при давлении \(p_1\): \[p_1 S = k\left(\dfrac{l}{4} - x_1\right), \qquad p_1 \cdot 2S = k\left(\dfrac{l}{4} + x_1\right) \quad\Rightarrow\quad p_1 = \dfrac{kl}{6S} = \dfrac{p_0}{6}, \quad x_1 = \dfrac{l}{12}.\] Объём, занятый жидкостью, при этом составляет \(V_1 = Sx_1 = \dfrac{V_0}{12}\).

На следующем этапе поршни разъезжаются в разные стороны. Пусть \(y_1\) и \(y_2\) — смещения левого и правого поршня соответственно. Условия равновесия поршней: \[pS = k\left(\dfrac{l}{4} + y_1\right), \qquad p\cdot 2S = k\left(\dfrac{l}{4} + y_2\right) \quad\Rightarrow\quad 2y_1 - y_2 = -\dfrac{l}{4}.\] Объём залитой воды при этом равен \(V = Sy_1 + 2Sy_2\), поэтому \[y_1 = l\left(\dfrac{V}{5V_0} - \dfrac{1}{10}\right), \qquad y_2 = l\left(\dfrac{2V}{5V_0} + \dfrac{1}{20}\right).\] Отсюда давление жидкости в сосуде равно \[p = \dfrac{k}{S}\left(\dfrac{l}{4} + y_1\right) = p_0\left(\dfrac{V}{5V_0} + \dfrac{3}{20}\right).\]

Используя полученные формулы, определим объёмы закачанной жидкости. Давление \(p_0/10 < p_1\) соответствует первому случаю: \[\dfrac{p_0}{10} = \dfrac{2p_0 V_{\text{а}}}{V_0} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{а}} = \dfrac{V_0}{20} = \dfrac{lS}{20}.\] Значение давления \(p_0/3 > p_1\) соответствует второму случаю: \[\dfrac{p_0}{3} = p_0\left(\dfrac{V_{\text{б}}}{5V_0} + \dfrac{3}{20}\right) \quad\Rightarrow\quad V_{\text{б}} = \dfrac{11V_0}{12} = \dfrac{11lS}{12}.\]