Крош и Бараш (теоретический тур)

Выразите длину дистанции через \(v\tau\) по условию обгона, затем найдите границы для длины второго участка, рассмотрев крайние случаи обгона на финише и в момент \(\tau\).

Пусть \(s\) — длина всей дистанции. Путь, пройденный смешариками до момента первого обгона, равен \(v\tau\). Отрезок пути, равный \(s/4\), Крош бежал со скоростью \(0{,}8v\), а оставшийся участок — со скоростью \(1{,}5v\), поэтому \[\dfrac{s/4}{0{,}8v} + \dfrac{v\tau - s/4}{1{,}5v} = \tau \quad\Rightarrow\quad s = \dfrac{16}{7}\,v\tau.\] Общее время движения Бараша равно \(T = 16\tau/7\), а время движения Кроша на первом участке \(t_1 = \dfrac{s/4}{0{,}8v} = \dfrac{5\tau}{7}\).

Длина второго участка будет максимальной, когда Бараш обгонит Кроша практически на самом финише. Пусть \(s_2\) — длина второго участка. Тогда \[\dfrac{s_2}{1{,}5v} + \dfrac{\frac{3}{4}s - s_2}{0{,}9v} = \dfrac{11}{7}\tau \quad\Rightarrow\quad s_2 = \dfrac{3v\tau}{4}.\] Длина второго участка минимальна, когда Крош закончит движение со скоростью \(1{,}5v\) в момент обгона Бараша (в момент времени \(\tau\)). Поэтому минимальная длина второго участка равна \(v\tau - s/4 = 3v\tau/7\).

Отставание Кроша от Бараша будет максимальным, когда \(s_2\) будет минимальным. Оставшийся путь до финиша составляет \(9v\tau/7\). Максимальное время \(t_0\) равно \[t_0 = \dfrac{9v\tau/7}{0{,}9v} - \dfrac{9v\tau/7}{v} = \dfrac{10\tau}{7} - \dfrac{9\tau}{7} = \dfrac{\tau}{7}.\]