Закон деформации кольца. Скорость звука

Из размерностей и закона Гука получите показатели \(m\), \(n\) и \(q\); показатель \(p\) найдите, сравнивая деформации двух колец из ПЭТ разного диаметра при одинаковой силе.

Закон деформации колец. Проанализируем уравнение (1). По закону Гука малые деформации пропорциональны силе: \(\varepsilon \sim F\), поэтому \(m = 1\). Увеличение ширины кольца в два раза (при прочих равных параметрах кольца) можно представить как два кольца, расположенных рядом. Следовательно, для сохранения относительной деформации потребуется в два раза большая сила. Учитывая, что \(m = 1\), получаем \(\varepsilon \sim F/h\), \(q = -1\).

Размерность модуля Юнга \([E] = \text{ Н/м}^2 = \text{ кг/(м·с}^2\text{)}\). Для исключения размерности массы и времени (которые присутствуют в силе \(F\) и модуле Юнга \(E\)) следует считать, что \(\varepsilon \sim F/E\), поэтому \(n = -1\).

Поскольку \(\varepsilon\) — безразмерная величина, должно выполняться равенство: \[m - n + p + q + i = 0.\] С учётом найденных ранее коэффициентов получим: \(p + i = -1\).

Для определения показателя степени \(p\) проведём эксперимент с двумя кольцами из ПЭТ. Измерим ширину \(h\) и длину окружности \(L = \pi D\) полиэтилентерефталатовых колец. Зная массу \(m\) и плотность \(\rho\) этих материалов, вычислим толщину колец \(\delta = m/(\rho L h)\). Получим, что \(\delta_2 \approx \delta_1\).

Сложим кольца в виде «восьмёрки» и стянем их ниткой. Деформирующая сила для обоих колец будет одинакова. Измеряем абсолютные деформации диаметров колец \(x_1\), \(x_2\) в этом случае. По условию ширина колец \(h\) одинакова, поэтому для нахождения \(p\) используем уравнение: \[\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} = \left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)^p = \left(\dfrac{L_2}{L_1}\right)^p.\] В нашем случае получилось уравнение \(1{,}5^p = 2{,}3\). Его корнем является число \(p \approx 2{,}05\). Так как по условию \(p\) — целое число, то примем \(p = 2\). Показатель степени \(i\) находим из уравнения: \(i = -p - 1 = -3\). Закон деформации кольца имеет вид: \[\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \beta\,\dfrac{FD^2}{Eh\delta^3}.\] Для справки, точная формула имеет вид (Ландау, Лифшиц, т. VII, «Теория упругости»): \[\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \dfrac{3\pi^2 - 24}{8\pi}\,\dfrac{FD^2}{Eh\delta^3}.\]

2. Скорость звука. Деформацию кольца \(x\) выражаем через скорость звука \(c\) и массу кольца \(m\): \[c = \sqrt{\dfrac{E}{\rho}} = \dfrac{D^2}{\delta}\sqrt{\dfrac{\pi\beta F}{m x}}.\] Если кольца деформировать одной и той же силой, то для отношения скоростей звука получаем: \[c = c_0\left(\dfrac{D}{D_0}\right)^2\dfrac{\delta_0}{\delta}\sqrt{\dfrac{m_0 x_0}{m x}}.\] Деформируем кольца одинаковой силой (для этого достаточно расположить их в виде восьмёрки и стянуть одной и той же нитью). Измеряем их деформации (\(x\) — для кольца из полиэтилентерефталата и \(x_0\) — для кольца из алюминия). По полученным данным находим скорость звука в полиэтилентерефталате: \(c = 1450\) м/с.