Задачи › Массивный канат, распределённая нагрузка

Цепная линия

  1. Цепная линия

    ВсОШ 2013/14, 11 кл.
    6/10

    Цепной линией называют кривую, образуемую подвешенной за концы однородной массивной нитью. Пусть погонная плотность нити (масса единицы длины нити) \(\mu\), а её натяжение в нижней точке \(T_0\). Величина \(\lambda = T_0/\mu g\) является параметром, определяющим форму цепной линии. Если начало координат поместить в низшей точке цепной линии, то её можно задать уравнением: \[y = \lambda\left(\operatorname{ch}\dfrac{x}{\lambda} - 1\right) = \lambda\left[\dfrac12\left(e^{x/\lambda} + e^{-x/\lambda}\right) - 1\right].\]

    От Вас не требуется вывод зависимости вертикальной координаты \(y\) точки нити от горизонтальной координаты \(x\). Вам следует разобраться в связи \(y\) и \(s\), где \(s\) — длина отрезка нити, отсчитываемая от низшей точки. Теоретическую зависимость Вы должны проверить, проведя измерения с цепочкой из скрепок.

    Теоретическая часть:

    1. Пусть натяжение нити в нижней точке равно \(T_0\). Для малого отрезка нити длиной \(\Delta s\) получите выражение для разницы сил натяжения \(\Delta T\) на его концах, выразив его через \(\mu\), и разность высот \(\Delta y\) концов отрезка.

    2. Получите выражение для натяжения \(T\) нити на высоте \(y\) относительно нижней точки при заданном \(T_0\)?

    3. Докажите, что если верхняя точка нити длины \(s\) возвышается над низшей точкой на высоту \(y\) (рис. 3), то \[\lambda = \dfrac{T_0}{\mu g} = \dfrac{s^2 - y^2}{2y}.\]

    Рисунок

    Экспериментальная часть:

    1. Соберите из выданных вам скрепок цепочку. Подвесьте склеенный лист бумаги и цепочку на бруске так, чтобы максимальный провис \(H\) составлял \((0{,}3 \div 0{,}5)L\), где \(L\) — расстояние между точками подвеса цепочки. Укажите выбранное вами значение \(H/L\), число скрепок \(n\) и длину \(l\) скрепки (расстояние между точками соприкосновения её с соседними скрепками).

    2. Отметьте фломастером на листе бумаги положения последовательных точек соприкосновения скрепок, начав с низшей точки (считайте её нулевой). Определите высоты этих точек, и результаты измерений занесите в таблицу.

    3. Для каждой точки рассчитайте по измеренным высотам \(y_i\) и номеру \(n_i\) значения параметра \(\lambda\).

    4. Укажите номера скрепок, для которых проявляется заметное отличие реальной цепочки от идеальной (заметное отличие параметра \(\lambda\) от его среднего значения).

    5. Вычислите среднее значение \(\lambda\).

    6. Вычислите среднее отклонение от среднего значения \(\lambda\).

    7. Найдите отношение натяжения в нижней точке к весу одной скрепки: \(\tau = \dfrac{T_0}{mg}\).

    Указание: на выданном вам листе отметьте и пронумеруйте точки сцепления скрепок, подпишите рядом их высоты, а результаты измерений и их обработки представьте в таблице. Лист подпишите. По окончании тура вложите его в тетрадь с отчетом о проделанной работе и сдайте вместе с нею.

    Оборудование: 30–40 скрепок, лист бумаги формата А2, пенополиуретановый плинтус или деревянный брусок длиной 70–100 см (для крепления бумаги и цепочки: он кладётся на край стола, а цепочка и бумага свисают ниже столешницы), фломастер, 4 «силовые» металлопластиковые кнопки, линейка длиной 40 см.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Натяжение в любой точке цепочки складывается из натяжения в низшей точке и веса участка от низшей точки; сравните выражение для \(T\) с законом сохранения горизонтальной и вертикальной компонент натяжения в точке на высоте \(y\).

    Ответ

    \(H/L = 0{,}56\), \(n = 42\) скрепки, \(l = 25{,}9\) мм; \(\lambda_{\text{ср}} = 165\) мм, \((\Delta\lambda)_{\text{ср}} = 6\) мм, \(\tau_{\text{ср}} = 6{,}33\), \(\varepsilon_\tau = 4\,\%\). Первые две нижние скрепки (№ 1 и № 2) в среднее не включены.

    Решение

    1. Для малого отрезка нити длиной \(\Delta s\) с углом наклона \(\alpha\) к горизонтали разница сил натяжения на концах \(\Delta\vec T = -\mu\vec g\,\Delta s\), а изменение величины силы натяжения равно проекции вектора \(\Delta\vec T\) на направление вектора \(\vec T\): \[\Delta T = |\Delta\vec T|\sin\alpha = \mu g\,\Delta s\sin\alpha = \mu g\,\Delta y.\] 2. На высоте \(y\) натяжение нити \(T = T_0 + \mu g y\).

    3. Рассмотрим отрезок нити от нижней нулевой точки до точки, находящейся на высоте \(y\) при длине отрезка \(s\). Пусть \(T\) — натяжение в этой точке, а \(T_x\) и \(T_y\) его проекции на горизонталь и вертикаль. Запишем условие равновесия нити в проекциях на горизонталь и вертикаль: \(T_x = T_0\) и \(T_y = \mu g s\). Отсюда \[T^2 = T_0^2 + (\mu g s)^2.\] После подстановки \(T = T_0 + \mu g y\) в это уравнение находим \[\lambda = \dfrac{T_0}{\mu g} = \dfrac{s^2 - y^2}{2y}.\]

    4. Отметим \(H/L\), число скрепок \(n\). Для повышения точности длину одной скрепки \(l\) измеряем по длине натянутого отрезка цепочки из 30–40 скрепок.

    5. Если цепочка скрепок подвешена на небольшом расстоянии от миллиметровой бумаги, то положение точек соприкосновения можно отметить с точностью \(0{,}5\)–\(1\) мм.

    6. Рассчитываем \(\lambda\) по формуле: \[\lambda = \dfrac{(n_i l)^2 - y_i^2}{2y_i}.\] Результаты эксперимента приведены в таблице (см. ниже), в которой для первых двух скрепок (выделены) значения \(\lambda\) заметно отличаются от теоретических и в среднее не включены.

    Рисунок

    Разброс для \(\lambda\) сопоставим с тем, что следует из погрешности измерения \(y\) (\(2\,\%\)) и «сдвига» на 1 и 2 скрепки. Вывод: цепочка скрепок в целом адекватно моделирует цепную линию, за исключением ближней окрестности нижней точки.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх