Задачи › Сила Архимеда

Шары в воде х2

  1. Шары в воде х2

    Санкт-Петербургская 2016/17, 8 кл.
    6/10

    Два одинаковых мяча жестко прикреплены к концам стержня (см. рис.). Длина стержня равна \(50\) см, диаметры мячей равны \(20\) см. Стержень закреплен посередине на шарнире \(O\) и может свободно вращаться. Система помещена в сосуд, в который очень медленно добавляют воду. Начальное положение воды и мячей показано на рисунке. Постройте зависимости высот центров мячей от уровня воды. Центры мячей всегда находятся на оси стержня. Считайте, что под давлением воды мячи могут слегка сжиматься. Мячи плавают в воде.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Подумайте, как меняется сила Архимеда, когда стержень слегка отклонён, и при каком уровне воды такое равновесие перестаёт быть устойчивым.

    Ответ

    График: при \(h \le 10\) см центры шаров на уровне шарнира; при \(10 \le h \le 45\) см один шар поднимается, другой опускается симметрично; при \(h \ge 45\) см стержень вертикален, и центры шаров на высотах \(\pm 35\) см от шарнира. Здесь \(h\) — уровень воды относительно шарнира.

    Решение

    Из соображений симметрии в начальный момент на шарики действуют одинаковые силы, и система находится в равновесии. Но это равновесие не всегда устойчиво. Если стержень отклонить на малый угол — правый шар сместился вверх, левый вниз, — то из-за понижения внешнего давления правый шар увеличивается в объёме, а левый уменьшается. Сила Архимеда на правый шар растёт, на левый уменьшается, и смещение нарастает.

    Это движение останавливается, когда правый шар достигнет поверхности воды: дальнейшее смещение уменьшает его силу Архимеда, и равновесие становится устойчивым.

    При повышении уровня воды можно выделить три этапа. На первом стержень остаётся горизонтальным, пока вода не покроет верхушку шаров (уровень \(10\) см относительно шарнира, \(20\) см относительно начального положения). На втором один шар «привязан» к поверхности воды, стержень поворачивается, пока не станет вертикальным (уровень \(45\) см относительно шарнира, \(55\) см относительно начального положения). На третьем стержень вертикален, и положения шаров не меняются. Ниже приведён график зависимости высоты центров шаров \(x\) от уровня воды \(h\) (от шарнира).

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх