Лучше собаки

Наибольшая длина поводка достигается, когда собака и Малыш на противоположных углах площадки. Удобно перейти к относительной скорости.

Длина поводка равна расстоянию между Малышом и собакой, значит наибольшая длина достигается, когда мальчик и собака находятся в противоположных углах площадки. В этот момент разность путей, пройденных ими, равна двум сторонам квадрата, то есть \(20\) м плюс какое-то количество периметров квадрата (\(40\) м). Относительная скорость \(v_{\text{отн}} = |v_м - v_с| = 3\) м/с. Значит, потенциально возможны моменты времени \(t_1 = \frac{20}{3}\) с, \(t_2 = \frac{60}{3}\) с, \(t_3 = \frac{100}{3}\) с и так далее. В момент \(t_1\) Малыш проходит путь \(S_{1м} = \frac{40}{3}\) м — это положение не подходит. Проверим следующее: \(S_{2м} = 40\) м, то есть мальчик прошёл полный круг по площадке; собака при этом пробежала \(S_{2с} = 100\) м, то есть два с половиной круга, и оказалась в противоположном углу. Искомое время \(t = 20\) с.