Вода и тела

Ключевая идея: баланс сил на вырезанном блоке воды даёт интеграл гидростатического давления, который уравновешивается силой поверхностного натяжения; из этого следует постоянная вдоль поверхности величина, и решение дифференциального уравнения задаёт форму поверхности.

Часть A. Поверхностная энергия одной капли до слияния \[E=4\pi a^2\gamma. \qquad (S3.1)\] Изменение поверхностной энергии при слиянии \[\Delta E=4\pi\left(2-2^{2/3}\right)a^2\gamma. \qquad (S3.2)\] Передача поверхностной энергии в кинетическую описывается соотношением \[\frac{Mv^2}{2}=k\,\Delta E, \qquad (S3.3)\] где \(k=0{,}06\) и \(M=\dfrac{4\pi a^3\rho}{3}\times2=\dfrac{8\pi a^3\rho}{3}\) — масса капли после слияния. Численный расчёт даёт \[v=\sqrt{\frac{2k\,\Delta E}{M}}=\sqrt{3\left(2-2^{2/3}\right)\frac{k\gamma}{\rho a}} =\sqrt{3\left(2-2^{2/3}\right)\times\frac{0{,}06\times7{,}27\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{3}\times100\times10^{-6}}} \approx0{,}232\ \text{м/с}. \qquad (S3.4)\] Примечание. Интересное явление, связанное с этим вопросом: на супергидрофобной поверхности при слиянии маленьких капель они высвобождают поверхностную энергию, а площадь поверхности уменьшается. Высвободившаяся энергия подбрасывает слившуюся каплю вверх. Это явление напоминает природный механизм у цикад: их крылья, обладающие супергидрофобной поверхностью, облегчают удаление капель воды при слиянии. Процесс служит естественной системой самоочистки, превращая поверхностную энергию в кинетическую, как описано в работе: Wisdom et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 7992–7997 (2013).

Часть B. Рассмотрим вертикальный столбик воды, показанный штриховкой на рис. S3-1. Баланс вертикальных сил на этот блок, приходящийся на единицу площади, даёт \(P+\rho gz=P_0\), откуда \[P=P_0-\rho gz.\]

Рис. S3-1 (решение B.1).

Поскольку атмосферное давление \(P_0\) не создаёт результирующей горизонтальной силы на блок воды, \[f_x=\int_{z_2}^{z_1}(-\rho gz)\,dz=\frac12\rho g\left(z_2^2-z_1^2\right). \qquad (S3.5)\] Эта сила направлена влево. Примечание. Причина, по которой \(P_0\) не создаёт результирующей горизонтальной силы, такова. Рассмотрим малый участок около поверхности (бесконечно малый кусок), который можно считать прямоугольным треугольником (рис. S3-2). Горизонтальная компонента суммарной силы, действующей на прямоугольный треугольник \(ABC\) на единицу длины вдоль оси \(y\), создаваемой атмосферным давлением, равна \[P_0\times\overline{AB}-P_0\times\overline{AC}\times\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=0.\] Интегрируя бесконечно малые куски по конечной области, получаем конечный объём воды, а результирующая сила остаётся равной нулю.

Рис. S3-2 (к примечанию B.2).

Горизонтальная компонента силы поверхностного натяжения, действующей на блок воды, равна \(\gamma\cos\theta_2-\gamma\cos\theta_1\). Тогда баланс горизонтальных сил \[f_x+\gamma\cos\theta_2-\gamma\cos\theta_1=0. \qquad (S3.6)\] Отсюда \(f_x=\gamma\cos\theta_1-\gamma\cos\theta_2\).

Из результатов B.2 и B.3 \[\frac12\rho gz_1^2+\gamma\cos\theta_1=\frac12\rho gz_2^2+\gamma\cos\theta_2. \qquad (S3.7)\] Поскольку это соотношение выполняется в произвольной точке \((x,z)\) поверхности воды, \[\frac12\rho gz^2+\gamma\cos\theta=\text{const}, \qquad (S3.8)\] что можно записать как \[\frac12\left(\frac z\ell\right)^{a}+\cos\theta(x)=\text{const} \qquad (S3.9)\] с \(a=2\) и \(\ell=\sqrt{\gamma/(\rho g)}\). Примечание. Соотношение (S3.9) — своего рода закон сохранения. Постоянная \(\ell\) называется капиллярной длиной.

B.5. Производная \(z'\) координаты поверхности воды связана с углом наклона \(\theta\) соотношением \(z'=\tan\theta\). Отсюда \[\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+(z')^2}} \qquad\Rightarrow\qquad \cos\theta\simeq1-\frac12\,(z')^2. \qquad (S3.10)\text{–}(S3.11)\] Подставляя в (S3.9), получаем \[\frac{z^2}{\ell^2}-z'^2=\text{const}. \qquad (S3.12)\] Дифференцируя по \(x\), \[z''=\frac{z}{\ell^2}, \qquad (S3.13)\] что и есть дифференциальное уравнение, определяющее форму поверхности воды. Его общее решение \[z=Ae^{x/\ell}+Be^{-x/\ell}. \qquad (S3.14)\] Граничное условие \(z(\infty)=0\) даёт \(A=0\), а условие \(z'(0)=\tan\theta_0\) даёт \(B=-\ell\tan\theta_0\).

Часть C. Горизонтальная компонента силы давления \[\int_{z_a}^{z_b}(\rho gz)\,dz=\frac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right). \qquad (S3.15)\] Пусть \(z_{\text{bottom}}\) — координата \(z\) нижней точки стержня. Тогда \[F_x=\int_{z_a}^{z_{\text{bottom}}}(-\rho gz)\,dz+\left(-\int_{z_b}^{z_{\text{bottom}}}(-\rho gz)\,dz\right) =\int_{z_a}^{z_b}(\rho gz)\,dz. \qquad (S3.16)\]

Вклад поверхностного натяжения, по аналогии с B.3, равен \(\gamma(\cos\theta_b-\cos\theta_a)\), и тогда \[F_x=\frac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right)+\gamma\left(\cos\theta_b-\cos\theta_a\right).\] Примечание. Тот факт, что вклад давления не зависит от формы сечения, можно показать так. Давление в точке \(s\) на контуре \(C\) вдоль границы сечения равно \[-\hat P\hat n\,ds=\left(-P_0+\rho gz\right)\hat n\,ds. \qquad (S3.17)\] Пусть \(\hat x\) — единичный вектор в положительном направлении \(x\), и заметим, что \(\hat x\cdot\hat n\,ds=dz\) (рис. S3-3). Тогда горизонтальная компонента \[-\hat P\,\hat n\cdot\hat x\,ds=-P_0\,dz+\rho gz\,dz. \qquad (S3.18)\] Интегрирование по контуру \(C\) даёт \[\int_{z_a}^{z_b}(\rho gz)\,dz=\frac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right). \qquad (S3.19)\]

Рис. S3-3 (к примечанию C.1). На рисунке: bottom — дно (нижняя точка стержня).

C.2. По граничным условиям к (S3.8): \[\underbrace{\frac12\rho gz_a^2+\gamma\cos\theta_a}_{x=x_a} =\underbrace{\frac12\rho gz_0^2+\gamma}_{x=0}, \qquad (S3.20)\] \[\underbrace{\frac12\rho gz_b^2+\gamma\cos\theta_b}_{x=x_b} =\underbrace{\gamma}_{x\to\infty}. \qquad (S3.21)\] Вычитая (S3.20) из (S3.21), получаем \(F_x=-\dfrac12\rho gz_0^2\). Примечание. Физическая основа этой задачи такова. Когда один стержень помещён на поверхность воды, форма поверхности по обе стороны от стержня остаётся одинаковой. Иначе говоря, стержень находится в среде с симметрией слева направо, и на него не действует сила. Когда же на поверхность помещены два стержня, симметрия слева направо нарушается с точки зрения каждого стержня, и возникает притягивающая сила. Смещение поверхности воды в середине между стержнями отличается от смещения горизонтальной поверхности; это отклонение обозначено \(z_0\). Иными словами, \(z_0\) играет роль параметра нарушения симметрии (рис. S3-4). То, что сила притяжения между стержнями определяется только этим параметром, указывает, что нарушение симметрии непосредственно является источником силы. Это соответствует фундаментальному принципу физики, связывающему нарушение симметрии с возникновением силы.

Рис. S3-4 (к примечанию C.2).

C.3. Общее решение для высоты поверхности воды: \[z(x)=Ae^{x/\ell}+Be^{-x/\ell}. \qquad (S3.22)\] Из симметрии слева направо \[A=B. \qquad (S3.23)\] Граничное условие \(z(0)=z_0\) даёт \[A+B=z_0. \qquad (S3.24)\] Следовательно, \(A=\dfrac{z_0}{2}\), \(B=\dfrac{z_0}{2}\). (S3.25) Подставляя в \(z(x_a)=z_a\) (точка контакта), получаем \[z_0=\frac{2z_a}{e^{x_a/\ell}+e^{-x_a/\ell}}.\]