Задачи › Движение по окружности

Бочка с песком

  1. Бочка с песком

    «Бельчонок» 2023/24, 10 кл.
    7/10

    Бочку с песком радиуса \(R\) вращают так, что она совершает \(n\) оборотов в секунду. Бочку наклонили под углом \(\alpha\) к горизонту, на дне бочки на расстоянии \(r=15\) см от оси симметрии сделали отверстие, через которое высыпается песок. По приведённым графикам зависимости \(Y=f(t)\) и траектории \(Y=f(x)\), которую оставляет песок на поверхности, определите радиус бочки \(R\), период, число оборотов бочки \(n\), угол \(\alpha\), под которым наклонена бочка к горизонту. Оси \(X\) и \(Y\) направлены вдоль поверхности Земли. Графики приведены на отдельной странице. Обязательно на них укажите все необходимые параметры, которые вы будете брать для определения величин.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Период найдите по графику \(Y(t)\). Длина следа песка за один период на траектории \(Y(x)\) равна длине окружности бочки. Размах колебаний на этом графике связан с радиусом отверстия и углом наклона через косинус.

    Ответ

    \(R\approx 29{,}9\) см; \(T=10\) с; \(n=0{,}1\) с\(^{-1}\); \(\alpha=30^\circ\).

    Решение

    По графику зависимости \(Y=f(t)\) определяем период \(T=10\) с. Число оборотов \[n=\frac{1}{T}=0{,}1~\text{с}^{-1}.\]

    Рисунок

    По графику \(Y=f(x)\) определяем, на какое расстояние сместилась бочка за период, оно примерно равно \(\ell=2\pi R=188\) см. Рассчитаем радиус бочки: \[R=\frac{\ell}{2\pi}=29{,}9~\text{см}.\]

    Рисунок

    По этому же графику определяем размах колебаний: \(BB'=2r'=AA'\cos\alpha=26\) см. С другой стороны, \(BB'=AA'\cos\alpha=2r\).

    Определяем \[\cos\alpha=\frac{BB'}{AA'}=\frac{26}{30}=0{,}8667,\qquad \alpha=\arccos 0{,}8667=30^\circ.\]

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх