Параллелепипед в отверстии дна

Исследуем вопрос о том, при каком уровне жидкости сила гидростатического давления, действующая на параллелепипед, будет максимальна.

Разобьём параллелепипед вертикальными плоскостями на много маленьких элементов. Рассмотрим силы давления, действующие на каждый из элементов, в следующих случаях.

1) Жидкость и сверху, и снизу элемента отсутствует. В этом тривиальном случае, очевидно, сила давления равна нулю.

2) Жидкость есть над элементом, но её нет под элементом (см. рис. 1). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось отрицательна, то есть жидкость стремится прижать рассматриваемый элемент к дну.

3) Жидкость есть под элементом, но её нет над элементом (см. рис. 2). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось положительна и равна \(f = \rho gb\Delta xh = \rho g\Delta V\), где \(h\) и \(\Delta V\) — высота и объём заштрихованной части рассматриваемого элемента.

4) Жидкость есть и под элементом, и над ним (см. рис. 3). В этом случае проекция на вертикаль силы давления равна \(f = \rho gb\Delta x(h_2 - h_1) = \rho g\Delta V\), где \(h_1\) и \(h_2\) — расстояния от поверхности жидкости до верхней и нижней граней рассматриваемого элемента соответственно.

Таким образом, из рассмотрения случаев 1 и 2 следует, что если под некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только прижимать пробку к дну сосуда, и минимальное значение вертикальной проекции этой прижимающей силы давления, равное нулю, достигается тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под некоторым элементом пробки жидкость есть (случаи 3 и 4), то максимальное значение проекции силы на вертикальную ось положительно и равно \(\rho g\Delta V\), где \(\Delta V\) — объём рассматриваемого элемента (случай 4). Значит, сила давления будет иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда жидкость налита в сосуд до уровня, показанного на рис. 4. При этом интересующий нас объём \(\Delta V\) (заштрихован на рис. 4) равен \(\Delta V = \left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2b\), а максимальная величина выталкивающей силы равна

\[F = \rho g\Delta V = \rho gb\left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2.\] Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рис. 4, то она не всплывёт и при любом другом уровне. Следовательно, массу пробки можно найти из условия \(Mg > F\), откуда \[M > \rho b\left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2.\]