Автомобиль на доске

Направим ось \(X\) вдоль доски в направлении движения автомобиля и будем отсчитывать время от момента старта автомобиля. Пусть \(v_{\text{д}}(t)\) и \(v_{\text{а}}(t)\) — скорости доски и автомобиля относительно дороги в момент времени \(t\). Будем считать, что \(v_{\text{д}}(t)\) и \(v_{\text{а}}(t)\) являются алгебраическими величинами, то есть могут принимать как положительные, так и отрицательные значения — это избавит нас от необходимости следить за знаками при написании формул. Тогда из закона сложения скоростей имеем: \[v_{\text{а}}(t) = v_{\text{д}}(t) + v,\qquad(1)\] причём скорость \(v\) по условию задачи постоянна и положительна.

Рассмотрим движение доски. Пусть в момент старта автомобиля доска приобрела скорость \(u\) относительно дороги. Тогда автомобиль в этот момент времени, согласно (1), имел относительно дороги скорость \(u + v\). Применяя для указанного момента времени закон сохранения импульса, получаем \(m(u + v) + Mu = 0\), откуда \(u = -\dfrac{mv}{m + M}\). Знак «минус» в выражении для \(u\) показывает, что в начальный момент времени доска начала двигаться в направлении, противоположном направлению движения автомобиля.

На скользящую по дороге доску действует направленная вдоль оси \(X\) сила трения \(F = \mu(m + M)g\). Значит, доска и автомобиль движутся с постоянным положительным ускорением \(a = \dfrac{F}{m + M} = \mu g\).

Зависимость скорости движения доски относительно дороги от времени определяется законом \[v_{\text{д}}(t) = u + at = -\dfrac{mv}{m + M} + \mu gt.\] Из этой формулы следует, что скорость доски относительно дороги с течением времени будет уменьшаться по модулю, и в конце концов доска остановится. Это произойдёт через время \(\tau = \dfrac{mv}{\mu(m + M)g}\) после старта автомобиля. До остановки доски, то есть при \(0 \leqslant t \leqslant \tau\), автомобиль будет двигаться относительно дороги с переменной скоростью, зависимость которой от времени можно найти, используя (1): \[v_{\text{а}}(t) = v_{\text{д}}(t) + v = -\dfrac{mv}{m + M} + \mu gt + v = \dfrac{Mv}{m + M} + \mu gt.\] Понятно, что после остановки доски, при \(t > \tau\), скорость движения автомобиля относительно дороги будет постоянна и равна \(v\).