Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Муаровый узор из двух расчёсок
Муаровый узор возникает при наложении двух периодических структур с близкими периодами так, что повторяющиеся элементы то накладываются друг на друга, то образуют промежутки. Рассмотрим в качестве периодических структур две расчёски, изображённые на рисунке. Расчёски имеют слегка отличающиеся расстояния между зубцами, нижняя расчёска двигается со скоростью \(v = 1\text{ см/с}\) вправо относительно верхней. С какой скоростью и в каком направлении двигаются тёмные пятна, изображённые на рисунке?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧто произойдёт с тёмным пятном, если нижняя расчёска сдвинется на один зубец? Сколько зубцов нижней расчёски проходит за время, пока пятно смещается на один период картины?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(v = 7\text{ см/с}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗафиксируем положение некоторого тёмного пятна. Если нижняя расчёска переместится на один зубец, то новая композиция тёмных пятен будет идентична исходной. Следовательно, выбранное тёмное пятно переместится на некоторое количество зубцов \(N\) относительно предыдущего своего положения. По рисунку можно определить, что на один сдвиг пятен на \(N\) зубцов приходится \(7N\) зубцов нижней расчёски, поэтому тёмные пятна перемещаются в 7 раз быстрее, чем нижняя расчёска: \(v = 7\text{ см/с}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Муаровые полосы
Лист бумаги с нанесённой на нём периодической структурой с периодом \(d_1\) (чёрные полосы) аккуратно за уголки прикрепите скотчем к столешнице. На него наложите другой такой же лист, который находится в файле/мультифоре, так чтобы чёрные полосы на обоих листах были параллельными. Период \(d_1\) (ширина чёрной полосы + ширина белой полосы) одного рисунка несколько отличается от периода \(d_2\) второго рисунка. Рассмотрите внимательно листы, сложенные вплотную. На них вы увидите муаровы полосы с периодом \(\lambda\). Малый сдвиг верхнего листа по отношению к нижнему приводит к большому перемещению муаровых полос.
а) Определите отношение \(\lambda/d_1\).
б) Определите отношение \(d_2/d_1\).
в) Получите теоретическую формулу для разности периодов \(d_2\) и \(d_1\), выразив её через \(\lambda\) и \(d_1\), и определите её значение в единицах \(d_1\).
г) Если сложенные вплотную листы с периодической структурой повернуть один относительно другого на некоторый малый угол \(\alpha\), то муаровы полосы повернутся на значительно больший угол \(\varphi\). Для 8–10 значений угла \(\alpha\) определите угол \(\varphi\). Результаты занесите в таблицу. Постройте график зависимости \(\operatorname{tg}\varphi\) от \(\alpha\). Определите угловой коэффициент \(C\) этого графика.
д) Получите теоретическую формулу, связывающую углы \(\alpha\) и \(\varphi\).
Оборудование. Булавка, два листа формата А4 с нанесённой на них периодической структурой. Один из этих листов находится в файле/мультифоре. На обратных сторонах этого листа изображён транспортир.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПериод муаровых полос связан с периодами решёток: сколько полос одной решётки укладывается между соседними совпадениями? Для угла повернувшихся полос подумайте, как связаны угловой коэффициент и геометрия решёток.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответа) \(\lambda/d_1 \approx 20{,}5\); б) \(d_2/d_1 \approx 1{,}05\); в) \(\Delta d/d_1 \approx 0{,}05\); г) \(C = 14\) рад\(^{-1}\); д) \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{\lambda a}{d}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПериоды решёток по измерениям: \(d_1 \approx 1{,}94\) мм и \(d_2 \approx 2{,}04\) мм, разница \(0{,}1\) мм.
1. Для определения \(\lambda/d_1\) достаточно посчитать количество маленьких белых полос (или чёрных) от одного минимума яркости до другого. Если посчитать это число для трёх–четырёх больших максимумов, можно получить довольно точное значение \(\lambda/d_1 \approx 20{,}5\).
2. Период интенсивности сетки Муара вычисляется по формуле \[\lambda = d_1\,\frac{d_2}{\Delta d},\] которая может быть получена из соображения, что каждый раз толстая полоса наслаивается на \(\Delta d\) на следующую маленькую полосу. Таким образом, минимум яркости будет тогда, когда большая полоса закроет маленькую точно также, то есть через \(d_1/\Delta d\) толстых полос. Ширина толстой полосы, в свою очередь, \(d_2\), откуда и получаем формулу для периода. Считая \(\Delta d = d_2 - d_1\), получим \[\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{1 - \dfrac{d_1}{\lambda}} \approx \left(1 + \frac{d_1}{\lambda}\right).\] Отношение это, однако, может быть получено путём простого совмещения тонких и толстых полос и подсчётом их количества на одну и ту же единицу длины. Реальное значение \(d_2/d_1 \approx 1{,}05\).
3. Чтобы найти \(\Delta d\), можно воспользоваться формулами \[\frac{\Delta d}{d_1} = \frac{d_2}{d_1} - 1 \quad\text{и}\quad \frac{d_2}{d_1} = \frac{\lambda}{\lambda - d_1},\] откуда \[\frac{\Delta d}{d_1} = \frac{\lambda}{\lambda - d_1} - 1 = \frac{d_1}{\lambda - d_1}.\] Численное значение \(\Delta d/d_1 \approx 0{,}05\).
4. Выстроим листы ровно, так чтобы сетка Муара была перпендикулярна длинам листов. Сдвинем их вдоль так, чтобы край полосы (или центр) приходился на нашу точку, которую мы проткнем булавкой. Таким образом, при повороте, сдвигая транспортир ЗА приклеенный лист, с одной стороны, можно померить малый угол \(\alpha\) по границе листа, а с другой — большой угол \(\varphi\) по границе (или центру) выбранной полосы. Отметим, что на самом деле, так как лист с мультифорой двигался — а значит, двигался и транспортир, то угол, который мы получаем при прямых измерениях, — \(\varphi - \alpha\). Снимаем данные и строим график, значение углового коэффициента которого \(C = 14\) рад\(^{-1}\).
Из теории \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\lambda a}{d}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Муар
Две расчески расположены друг за другом, как показано на рисунке. Верхняя расческа движется со скоростью 1 см/с влево, а нижняя удерживается на месте. С какой скоростью движутся тёмные треугольные области?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКогда верхняя расчёска сдвинется на один шаг зубьев, узор в целом повторится. Сколько шагов зубьев укладывается между соседними тёмными областями?
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветСкорость движения тёмных треугольных областей муарового узора равна \(10 \pm 1\) см/с.
Муаровые полосы от двух расчёсок
(i) Есть две расчёски, изображённые на рисунке ниже. Рисунок верно передаёт пропорции расчёсок; масштаб рисунка неизвестен. Серая расчёска движется со скоростью \(v = 1\) см/с (направление её движения показано на рисунке); чёрная расчёска покоится. Найдите скорость и направление движения тёмных полос.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение(i) Предположим, что мы наклеили на обе расчёски бумажные полоски с синусоидальными волнами так, что гребни соответствуют зубцам.
Для чёрной расчёски зубцы существуют там, где \[\sin(\vec k_1\cdot\vec r) = 1,\qquad k_1 = \frac{2\pi}{\Delta l_1}.\] Для серой расчёски зубцы существуют там, где \[\sin(\vec k_2\cdot\vec r-\omega t) = 1,\qquad k_2 = \frac{2\pi}{\Delta l_2}, \qquad \frac\omega{k_2} = v\] (\(r = 0\) там, где зубцы совпадают при \(t = 0\); \(k_1>k_2\)).
Тёмные области мы увидим там, где \[\sin(\vec k_1\cdot\vec r)\sin(\vec k_2\cdot\vec r-\omega t) = 1\] \[\Longrightarrow\ \vec k_1\cdot\vec r = 2n\pi+\frac\pi2,\qquad \vec k_2\cdot\vec r-\omega t = 2m\pi+\frac\pi2\] \[\Longrightarrow\ (\vec k_1-\vec k_2)\cdot\vec r = 2k\pi-\omega t,\] если следовать постоянной фазе (т. е. постоянному \(k\)). Для первой части \[v_{\text{полос}} = \frac{-\omega}{|\vec k_1-\vec k_2|} = \frac{-\omega/k_2}{\frac{k_1}{k_2}-1} = \frac{-v}{\frac{l_2}{l_1}-1} = \boxed{-7v = -7\text{ см/с}}.\]
Решение 2 для (i). Пусть \(\Delta l_1\) — зазор между зубцами чёрной расчёски, а \(\Delta l_2\) — зазор между зубцами серой. По расстоянию между двумя прозрачными промежутками на приведённом изображении можно заметить, что \(7\Delta l_2 = 8\Delta l_1\).
Если посмотреть на зубцы обеих расчёсок прямо перед местом их совпадения, зазор между их центрами будет \[\Delta l_2-\Delta l_1 = \tfrac87\Delta l_1-\Delta l_1 = \frac{\Delta l_1}7.\] Когда этот зазор пройден, прозрачные (а значит, и тёмные) полосы смещаются назад на целый зазор чёрной расчёски (т. е. на \(\Delta l_1\)). Поэтому \[v_{\text{полос}} = -\frac{\Delta l_1}{\frac{\Delta l_1}{7v}} = \boxed{-7v = -7\text{ см/с}}.\]
(ii) Для второй части \[|\vec k_1-\vec k_2|\approx\sqrt{(k_2\alpha)^2+(k_1-k_2)^2},\] \[v_{\text{полос}} = \frac{-\omega}{|\vec k_1-\vec k_2|} \approx\frac{-\omega/k_2}{\sqrt{\alpha^2+\bigl(\frac{k_1}{k_2}-1\bigr)^2}} = \frac{-v}{\sqrt{\alpha^2+\frac1{49}}} = \boxed{-5{,}73\text{ см/с}}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Муаровые узоры
Муаровый узор (муар, от французского moiré) — узор, который возникает при наложении двух периодических сетчатых рисунков (рис. 1). Явление обусловлено тем, что повторяющиеся элементы двух рисунков то накладываются друг на друга, то образуют промежутки.
Само понятие «муар» происходит от названия ткани муар. Муаровый узор, например, наблюдается при наложении друг на друга различных частей тюлевых занавесок. Когда-то муар использовали при пошиве дорогих костюмов, лент и так далее.
Муаровый узор возникает при цифровом фотографировании и сканировании сетчатых и других периодических изображений, если их период близок к расстоянию между светочувствительными элементами оборудования. Этот факт используется в одном из механизмов защиты денежных знаков от подделки: на купюры наносится волнообразный рисунок, который при сканировании может покрыться очень заметным узором, отличающим подделку от оригинала.
1. В данном эксперименте вам предстоит использовать эффект муара для определения периода \(d_A\) сетчатых рисунков. При параллельном наложении (то есть когда листы полностью совпадают) друг на друга двух решёток \(A\) с одинаковым периодом \(d_A\) можно наблюдать равномерно серую картину. При относительном повороте решёток на угол \(\theta\) появляются муаровые полосы. Снимите зависимость общего количества \(n\) наблюдаемых полос от угла поворота \(\theta\). Данные измерений занесите в таблицу 1. Общее количество полос \(n\) (на рисунке 1 \(n = 9\)) — это количество полос на отрезке \(S\), где \(S\) зависит от \(\theta\) и длины решёток \(L\). Подумайте, какие функции от \(n\) и \(\theta\) откладывать по осям, чтобы зависимость имела линейный вид. Постройте график этой зависимости. По графику определите значение периода \(d_A\) решётки \(A\). Приведите расчётные формулы и пояснительные рисунки.
2. Теперь наложите параллельно друг на друга решётки \(A\) и \(B\). Вы должны увидеть структуру из тёмных и светлых полос, параллельных линиям решётки. Наблюдаемый эффект называется биения. Найдите разность периодов \(\Delta d = |d_A - d_B|\) решёток \(A\) и \(B\).
3. Определите, у какой из решёток период больше, и найдите значение периода \(d_B\) решётки \(B\). Не забудьте подробно описать и обосновать ваш метод.
4. Для передачи на печати различных оттенков серых цветов используются изображения с разным отношением количества чёрных и белых точек. Уровнем серого (или просто серостью) назовём отношение количества чёрных точек к количеству всех точек. Таким образом, уровень 100 % будет соответствовать чёрному цвету, а 0 % — белому. Используя образцы с известным уровнем серого (рис. 2), определите ширину линии решётки \(A\). Приведите расчётные формулы.
Оборудование. Две решётки \(A\), напечатанные на прозрачной плёнке (размеры решёток 15 см \(\times\) 10 см); решётка \(B\), напечатанная на прозрачной плёнке; лист пенокартона, булавки для закрепления листов на пенокартоне; цветовые образцы с указанным уровнем серого. Пенокартон исполняет роль подставки в эксперименте. На всех решётках изображён транспортир с ценой деления 1°.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗависимость числа муаровых полос от угла линейна, если откладывать по осям не \(n\) и \(\theta\), а функции от них, которые связаны геометрией решёток. Для перекрещенных решёток серость связана с отношением ширины линии к периоду.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d_A = 2Lk\), где \(k\) — угловой коэффициент графика \(\operatorname{tg}\dfrac{\theta}{2}\) от \(n\); 2) \(\Delta d \approx \dfrac{d_A^2}{L}\); 3) по направлению «бега» полос определяется, у какой решётки период больше; 4) \(k = \dfrac{x}{d}\), для перпендикулярных решёток \(k = \dfrac{(d-x)^2}{d^2}\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Расстояние между полосами \(l\) равно половине длинной диагонали ромба, образованного пересечениями центров линий. Поскольку из геометрии \(nl = S = \dfrac{L}{\cos(\theta/2)}\), то \[d_A = \frac{2L\sin(\theta/2)}{n\cos(\theta/2)} \quad\text{или}\quad \operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{d_A}{2L}\,n .\] Построим график зависимости \(\operatorname{tg}(\theta/2)\) от \(n\). По точкам проведём прямую и по значению углового коэффициента определим период решётки \(d_A\) по формуле \(d_A = 2Lk\), где \(k\) — значение коэффициента наклона графика.
2. При параллельном наложении двух решёток с разными периодами образуются тёмные и светлые полосы. Там, где линии решёток совпадают, образуются светлые полосы, а там, где из-за различия в периодах линии решёток перестают совпадать, — тёмные. Совпадение полос происходит через интервал \(L\), на котором у решётки, например \(A\), укладывается на один период больше, чем у решётки \(B\).
Пусть расстояние между серединами светлых полос равно \(L\). Тогда: \[L = (n+1)d_1 = n d_2, \qquad \Delta d = d_2 - d_1 = \frac{L}{n(n+1)} = \frac{d_1 d_2}{L} \approx \frac{d_A^2}{L}.\] При этом не ясно, период какой решётки больше.
3. Если внимательно рассмотреть картину полос, то при смещении более частой решётки вправо на расстояние \(\Delta d\) совпадающие полосы переместятся на расстояние \(d_2\) в ту же сторону. Поэтому, если мы будем сдвигать решётку \(A\) относительно \(B\) и полосы будут «бежать» в том же направлении, то это будет значить, что \(d_A < d_B\); если же полосы будут «бежать» в обратном направлении, то \(d_A > d_B\).
4. Пусть ширина полосы \(x\), тогда уровень серого решётки будет равен \(k = x/d\). Сравним серость решётки с образцами, то есть подберём такие два образца близкой серости, чтобы серость решётки принималась промежуточным значением. Найдём \(x\).
Результат можно улучшить, заметив, что если мы положим две сетки ортогонально, то для них относительное количество белых точек будет \(k = (d-x)^2/d^2\). Так что, сравнив серость перпендикулярно перекрещенных решёток с образцами, можно получить величину \(x\) другим способом, а окончательный результат усреднить.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.