Задачи › Опыт Юнга, две щели

Муаровые полосы

  1. Муаровые полосы

    ВсОШ 2012/13, 9 кл.
    6/10

    Лист бумаги с нанесённой на нём периодической структурой с периодом \(d_1\) (чёрные полосы) аккуратно за уголки прикрепите скотчем к столешнице. На него наложите другой такой же лист, который находится в файле/мультифоре, так чтобы чёрные полосы на обоих листах были параллельными. Период \(d_1\) (ширина чёрной полосы + ширина белой полосы) одного рисунка несколько отличается от периода \(d_2\) второго рисунка. Рассмотрите внимательно листы, сложенные вплотную. На них вы увидите муаровы полосы с периодом \(\lambda\). Малый сдвиг верхнего листа по отношению к нижнему приводит к большому перемещению муаровых полос.

    а) Определите отношение \(\lambda/d_1\).

    б) Определите отношение \(d_2/d_1\).

    в) Получите теоретическую формулу для разности периодов \(d_2\) и \(d_1\), выразив её через \(\lambda\) и \(d_1\), и определите её значение в единицах \(d_1\).

    г) Если сложенные вплотную листы с периодической структурой повернуть один относительно другого на некоторый малый угол \(\alpha\), то муаровы полосы повернутся на значительно больший угол \(\varphi\). Для 8–10 значений угла \(\alpha\) определите угол \(\varphi\). Результаты занесите в таблицу. Постройте график зависимости \(\operatorname{tg}\varphi\) от \(\alpha\). Определите угловой коэффициент \(C\) этого графика.

    д) Получите теоретическую формулу, связывающую углы \(\alpha\) и \(\varphi\).

    Оборудование. Булавка, два листа формата А4 с нанесённой на них периодической структурой. Один из этих листов находится в файле/мультифоре. На обратных сторонах этого листа изображён транспортир.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Период муаровых полос связан с периодами решёток: сколько полос одной решётки укладывается между соседними совпадениями? Для угла повернувшихся полос подумайте, как связаны угловой коэффициент и геометрия решёток.

    Ответ

    а) \(\lambda/d_1 \approx 20{,}5\); б) \(d_2/d_1 \approx 1{,}05\); в) \(\Delta d/d_1 \approx 0{,}05\); г) \(C = 14\) рад\(^{-1}\); д) \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{\lambda a}{d}\).

    Решение

    Периоды решёток по измерениям: \(d_1 \approx 1{,}94\) мм и \(d_2 \approx 2{,}04\) мм, разница \(0{,}1\) мм.

    1. Для определения \(\lambda/d_1\) достаточно посчитать количество маленьких белых полос (или чёрных) от одного минимума яркости до другого. Если посчитать это число для трёх–четырёх больших максимумов, можно получить довольно точное значение \(\lambda/d_1 \approx 20{,}5\).

    2. Период интенсивности сетки Муара вычисляется по формуле \[\lambda = d_1\,\frac{d_2}{\Delta d},\] которая может быть получена из соображения, что каждый раз толстая полоса наслаивается на \(\Delta d\) на следующую маленькую полосу. Таким образом, минимум яркости будет тогда, когда большая полоса закроет маленькую точно также, то есть через \(d_1/\Delta d\) толстых полос. Ширина толстой полосы, в свою очередь, \(d_2\), откуда и получаем формулу для периода. Считая \(\Delta d = d_2 - d_1\), получим \[\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{1 - \dfrac{d_1}{\lambda}} \approx \left(1 + \frac{d_1}{\lambda}\right).\] Отношение это, однако, может быть получено путём простого совмещения тонких и толстых полос и подсчётом их количества на одну и ту же единицу длины. Реальное значение \(d_2/d_1 \approx 1{,}05\).

    3. Чтобы найти \(\Delta d\), можно воспользоваться формулами \[\frac{\Delta d}{d_1} = \frac{d_2}{d_1} - 1 \quad\text{и}\quad \frac{d_2}{d_1} = \frac{\lambda}{\lambda - d_1},\] откуда \[\frac{\Delta d}{d_1} = \frac{\lambda}{\lambda - d_1} - 1 = \frac{d_1}{\lambda - d_1}.\] Численное значение \(\Delta d/d_1 \approx 0{,}05\).

    4. Выстроим листы ровно, так чтобы сетка Муара была перпендикулярна длинам листов. Сдвинем их вдоль так, чтобы край полосы (или центр) приходился на нашу точку, которую мы проткнем булавкой. Таким образом, при повороте, сдвигая транспортир ЗА приклеенный лист, с одной стороны, можно померить малый угол \(\alpha\) по границе листа, а с другой — большой угол \(\varphi\) по границе (или центру) выбранной полосы. Отметим, что на самом деле, так как лист с мультифорой двигался — а значит, двигался и транспортир, то угол, который мы получаем при прямых измерениях, — \(\varphi - \alpha\). Снимаем данные и строим график, значение углового коэффициента которого \(C = 14\) рад\(^{-1}\).

    Из теории \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\lambda a}{d}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх