Гонки Мёбиуса
6/10На рисунке, представленном ниже, изображена лента Мёбиуса. В нулевой момент времени по ленте одновременно из одной точки начинают двигаться в одном направлении вдоль линии, равноудалённой от краёв, два небольших тела с постоянными скоростями, равными \(v\) и \(\alpha v\), где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент (\(\alpha > 1\)). Если мысленно разрезать ленту по линии, перпендикулярной линии движения точек, то лента развернётся в полосу длиной \(L\). Параметры \(v\), \(\alpha\), \(L\) считаются известными.
(3 балла) В какой момент времени \(t_1\) тела впервые встретятся?
(4 балла) В какой момент времени \(t_2\) тела впервые встретятся в точке старта, если \(\alpha = \dfrac{5}{3}\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДлина замкнутой линии движения на ленте Мёбиуса равна не \(L\), а \(2L\). Как отличаются пройденные телами пути к моменту встречи?
Ответ1) \(t_1 = \dfrac{2L}{(\alpha-1)v}\); 2) \(t_2 = \dfrac{6L}{v}\).
Решение1a. Расстояния, пройденные телами, в момент первой встречи будут отличаться на \(2L\), следовательно, \[\alpha v t_1 - v t_1 = 2L,\] откуда находим \(t_1 = \dfrac{2L}{(\alpha-1)v}\).
1b. \(N\)-ая встреча тел произойдёт через время \(\dfrac{2LN}{(\alpha-1)v}\). За это время тело, которое движется со скоростью \(v\), пройдёт расстояние \(\dfrac{2LN}{\alpha-1} = 3LN\). Тела впервые встретятся в точке старта при таком минимальном значении \(N\), что \(3LN\) окажется кратным \(2L\). Нетрудно догадаться, что это произойдёт в момент второй встречи через время \(t_2 = \dfrac{6L}{v}\).
Похожие задачи
- Муравьишка на кирпиче МОШ 2009/10, 8 кл.
- Муравей и проволочный мостик МОШ 2009/10, 10 кл.
- Перелёт Ту-160 МОШ 2010/11, 9 кл.
- Пешеход и велосипедист в Демушкино МОШ 2012/13, 10 кл.
- Автомобилист и железнодорожный переезд МОШ 2014/15, 8 кл.
- Велосипедист и пешеход на круге МОШ 2014/15, 7 кл.