Жми на газ!

Для проверки формулы удобнее строить зависимость силы от квадрата скорости: по ней видно линейность. Ускорение на каждом стометровом участке оцените по разности квадратов скоростей; коэффициент трения качения и \(C_x\) получаются из отрезка и наклона прямой.

Часть 1.

1.1. Максимальное ускорение автомобиля определяется максимальной силой трения и равно \[a_{\max} = \mu_0 g = 7{,}84\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \qquad (1)\] Поэтому, на первый взгляд, кажется, что минимальное время разгона равно \[\tau = \frac{v_{\max}}{a_{\max}} = \frac{27{,}8\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{7{,}84\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 3{,}5\ \text{с}. \qquad (2)\] Однако необходимо проверить, хватает ли мощности автомобиля, чтобы все время обеспечивать максимальное ускорение. Представим мощность автомобиля в виде \[P = Fv = m a_{\max} v. \qquad (3)\] И рассчитаем, при какой скорости требуемая мощность достигает максимального значения \[v_1 = \frac{P}{m a_{\max}} = \frac{110\cdot 10^{3}\ \text{Вт}}{1{,}7\cdot 10^{3}\ \text{кг}\cdot 7{,}84\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 8{,}25\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 30\ \frac{\text{км}}{\text{час}}. \qquad (4)\] Таким образом, автомобиль может разгоняться с максимальным ускорением только до скорости \(v_1\). На этот участок разгона потребуется время \[t_1 = \frac{v_1}{a_{\max}} = \frac{P}{m(\mu_0 g)^2} = 1{,}05\ \text{с}. \qquad (5)\] Далее разгон автомобиля будет определяться максимальной мощностью автомобиля. При постоянной мощности время разгона может быть рассчитано из уравнения \[P t_2 = \frac{m v_0^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2} \ \Rightarrow\ t_2 = \frac{m}{2P}\left(v_0^2 - v_1^2\right) = 5{,}44\ \text{с}. \qquad (6)\] Итого, минимальное время разгона при оптимальном управлении равно \[t = t_1 + t_2 = 6{,}5\ \text{с}. \qquad (7)\]

1.2. Если ведущими являются только одна пара колес, то силы реакции, действующие на передние и на задние колеса, будут различными, поэтому будут различаться и силы трения, что приведет к различным ускорениям автомобиля. Изобразим силы, действующие на автомобиль во время разгона.

Сила трения, разгоняющая автомобиль равна (индекс 1 — ведущие задние колеса, индекс 2 — ведущие передние колеса) \[F_{тр.1,2} = \mu_0 N_{1,2}. \qquad (1)\] Для расчета сил реакции запишем условие равенства вертикальных проекций сил \[N_1 + N_2 = mg. \qquad (2)\] Автомобиль практически не поворачивается вокруг горизонтальной оси. Поэтому сумма моментов сил, действующих на автомобиль равна нулю. Запишем это условие для оси, проходящей через центр масс автомобиля ¹ \[F_{тр.1,2}\,h + N_2\frac{l}{2} - N_1\frac{l}{2} = 0. \qquad (3)\] Если ведущими являются задние колеса, то из формул (1) - (3) получаем \[\mu_0 N_1 h + (mg - N_1)\frac{l}{2} - N_1\frac{l}{2} = 0 \ \Rightarrow\ N_1 = \frac{mgl}{2\left(1 - \mu_0\dfrac{h}{l}\right)}. \qquad (4)\] В этом случае ускорение автомобиля равно \[a_{\max 1} = \frac{\mu_0 N_1}{m} = \frac{\mu_0 g l}{2\left(1 - \mu_0\dfrac{h}{l}\right)} = 5{,}2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \qquad (5)\] Если ведущими являются передние колеса, то из (1) – (3) имеем \[\mu_0 N_2 h + N_2\frac{l}{2} - (mg - N_2)\frac{l}{2} = 0 \ \Rightarrow\ N_2 = \frac{mgl}{2\left(1 + \mu_0\dfrac{h}{l}\right)}. \qquad (6)\] В этом случае ускорение будет меньше \[a_{\max 2} = \frac{\mu_0 N_2}{m} = \frac{\mu_0 g l}{2\left(1 + \mu_0\dfrac{h}{l}\right)} = 3{,}1\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \qquad (7)\]

Часть 2.

2.1. Наиболее явным доказательством применимости предложенной формулы для силы сопротивления может служить график зависимости силы сопротивления от квадрата скорости. Такой график можно построить на основании имеющихся данных. Уравнение второго закона Ньютона при движении автомобиля в данном случае имеет вид \[ma = -\mu_1 mg - \frac{1}{2}C_x\rho S v^2. \qquad (8)\] Считая (в соответствии с подсказкой) движение на каждом стометровом участке равноускоренным, можно рассчитать среднее ускорение на участке от \(x_{k-1}\) до \(x_k\) по формуле \[a_k = \frac{v_k^2 - v_{k-1}^2}{2\Delta x}. \qquad (9)\] Для повышения точности следует также взять значение средней скорости на этом же участке \[\langle v\rangle_k = \frac{v_k + v_{k-1}}{2}. \qquad (10)\] Тем самым появляется возможность построения линейной зависимости (\(F = kv^2 + b\)): \[\left|m a_k\right| = \mu_1 mg + \frac{1}{2}C_x\rho S\langle v_k\rangle^2. \qquad (11)\] Результаты расчетов приведены в таблице.

График этой зависимости показан на рисунке. Линейность полученного графика однозначно доказывает, что сила сопротивления воздуха действительно пропорциональна квадрату скорости.

2.2. По графику легко найти коэффициент наклона прямой \(k \approx 0{,}56\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}}\) и ее сдвиг \(b \approx 840\,\text{Н}\). По этим значениям находим требуемые параметры \[b = \mu_1 mg \ \Rightarrow\ \mu_1 = \frac{b}{mg} = 0{,}05, \qquad k = \frac{1}{2}C_x\rho S \ \Rightarrow\ C_x = \frac{2k}{\rho S} = 0{,}30.\]