Труба с намотанной нитью

Запишите условие равновесия моментов относительно центра трубы и относительно точки касания трубы с плоскостью.

На трубу действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции плоскости \(\vec N\), сила натяжения нити \(\vec T\) и сила трения \(\vec F_{тр}\), направленная вверх вдоль плоскости (см. рисунок). Условие моментов относительно центра трубы: \(TR = F_{тр}R\), т.е. \(T = F_{тр}\). Из условия моментов относительно точки касания трубы и плоскости: \(T(R + R\sin\alpha) = mgR\sin\alpha\), откуда \[T = \frac{mg\sin\alpha}{1+\sin\alpha}, \qquad F_{тр} = \frac{mg\sin\alpha}{1+\sin\alpha}.\] Сила реакции плоскости из уравнения сил: \(N = mg\cos\alpha - T\cos\alpha = \dfrac{mg\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\). Условие покоя трубы \(F_{тр} \le \mu N\) дает \[\frac{mg\sin\alpha}{1+\sin\alpha} \le \mu\,\frac{mg\cos\alpha}{1+\sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \mu \ge \mathrm{tg}\,\alpha.\]