Тело на стенке конуса
3/10Небольшое тело движется по внутренней поверхности вертикального конуса, описывая горизонтальную окружность радиуса \(r\) с центром на оси конуса (см. рисунок). Найти угловую скорость тела, если угол между осью конуса и его образующей равен \(\alpha\). Поверхность конуса гладкая, влиянием силы сопротивления воздуха пренебречь.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаРеакция опоры перпендикулярна поверхности конуса; её вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести, горизонтальная задает центростремительное ускорение.
Ответ\(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{r}}\).
РешениеСкорость тела не меняется, так как поверхность гладкая и тело движется на одной высоте. На тело действуют сила реакции опоры \(\vec N\) и сила тяжести \(m\vec g\); их сумма в каждой точке направлена к центру окружности и равна \(m\omega^2 r\). Проекции второго закона Ньютона на вертикальную ось и ось к центру окружности: \[0 = N\sin\alpha - mg, \qquad m\omega^2 r = N\cos\alpha.\] Отсюда \(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{r}}\).
Похожие задачи
- Невесомость на мостике МОШ 2012/13, 9 кл.
- Невесомость на мостике МОШ 2012/13, 10 кл.
- Автомобиль на выпуклом мосту Физтех 2015/16, 9 кл.
- Груз на вращающейся платформе Курчатов 2015/16, 11 кл.
- Конический маятник МОШ 2012/13, 10 кл.
- Монетка на виниловом диске Курчатов 2013/14, 10 кл.