Саша и Вероника: туда и обратно

Используйте связь времён до и после встречи, полученную из равенства путей, и то, что полное время пути равно расстоянию между пунктами, делённому на скорость.

Обозначим скорость Саши за \(v_1\), а скорость Вероники за \(v_2\). Время, затраченное на путь до встречи возле стадиона, для Саши — \(t_1\), для Вероники — \(t_2\). Время после встречи до достижения конечного пункта — \(t_1'\) для Саши и \(t_2' = 2t_1'\) для Вероники. Путь от института до стадиона обозначим за \(x_1\), от стадиона до общежития — за \(x_2\), тогда \(X = x_1 + x_2\) — расстояние от общежития до института. Общее время Саши до возвращения в исходный пункт — \(T_1\), Вероники — \(T_2\).

Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники до встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_1t_1, \\ x_2 = v_2t_2. \end{cases}\] Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники после встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_2t_2', \\ x_2 = v_1t_1'. \end{cases}\] Подставляя \(x_1\), \(x_2\) из второй системы в первую, получим: \[\begin{cases} v_1t_1 = v_2t_2', \\ v_2t_2 = v_1t_1', \end{cases} \quad\Rightarrow\quad t_1t_2 = t_1't_2'.\] Поскольку \(t_2' = 2t_1'\) и \(t_1 = t_2\), получим \(t_1^2 = 2t_1'^2\), откуда \[\frac{t_1}{t_1'} = \sqrt{2}.\] Выражая \(v_1\) из второй системы уравнений и подставляя в первую, получим: \[x_1 = \frac{x_2}{t_1'}\,t_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_1'} = \sqrt{2}.\] Выразим отношение \(x_1\) к \(x_2\) иначе из первой системы уравнений: \[\frac{x_1}{x_2} = \frac{v_1}{v_2}.\] Поскольку \(2X = T_2v_2\) и \(2X = T_1v_1\), получим: \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{x_2}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7.\]