Déjà vu

1. Пусть \(I_C\) — сила тока, идущего на зарядку конденсатора, \(I_R\) — сила тока через резистор \(R_2\), включённый параллельно конденсатору, \(I\) — ток через источник, \(q_R\) — заряд, прошедший через резистор \(R_2\), \(q_C\) — заряд конденсатора, \(q\) — заряд, прошедший через источник, \(U\) — напряжение на конденсаторе и резисторе \(R_2\). Тогда \[U = \frac{q}{C} = I_R R_2 = \mathcal{E} - I R_1,\] откуда \[I = \frac{\mathcal{E} - U}{R_1}, \qquad I_R = \frac{U}{R_2}, \qquad I_C = I - I_R = \frac{\mathcal{E}}{R_1} - U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).\] Зависимость скорости изменения энергии конденсатора от напряжения на нём является квадратным трёхчленом \[P = U\cdot I_C = U\left[\frac{\mathcal{E}}{R_1} - U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)\right],\] максимум которого находится посередине между его корнями: \[U_m = \frac{\mathcal{E}}{2}\cdot\frac{R_2}{R_1 + R_2}, \qquad I_m = \frac{\mathcal{E}}{2R_1}.\] Ток через источник в этот момент \[I = I_R + I_C = \frac{U_m}{R_2} + I_m = \frac{\mathcal{E}}{2R_1}\cdot\frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2},\] а искомая мощность источника равна \[N = \mathcal{E} I = \frac{\mathcal{E}^2}{2R_1}\cdot\frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2}.\]

2. Запишем второе правило Кирхгофа для контура с резисторами (\(R_1 = R_2 = R\)): \[\mathcal{E} = I R_1 + I_R R_2 = (I + I_R) R.\] Домножим это уравнение на \(\Delta t\) и просуммируем по времени от 0 до \(t_0\): \[\mathcal{E} t_0 = (q + q_R) R = (2q - q_C) R, \qquad (q_R = q - q_C).\] Заряд конденсатора \(q_C = C U_m = \dfrac{C\mathcal{E}}{2}\cdot\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{C\mathcal{E}}{4}\). Отсюда \[q = C\mathcal{E}\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\ln 2\right).\] Из закона сохранения энергии количество теплоты, выделившееся в цепи при замкнутом ключе \(K\), \[Q = \mathcal{E} q - \frac{q_C^2}{2C} = \frac{C\mathcal{E}^2}{4}\left(\frac{3}{8} + \ln 2\right) \approx 0{,}27\,C\mathcal{E}^2.\]