Гранулы

Постоянство объёмного расхода жидкости связывает скорости на двух участках трубы. Силу, действующую на отрезок взвеси, найдите через изменение импульса за время \(dt\).

Пусть \(n_1\), \(n_2\) и \(u_1\), \(u_2\) — концентрации гранул и скорости течения на указанных участках трубы. Тогда \(\nu = n_1 u_1 S = n_2 u_2 S\). Несжимаемость жидкости выражается постоянством объёмного расхода: \[u_1 S (1 - n_1 V) = u_2 S\bigl(1 - n_2 (V + \Delta V)\bigr).\] Отсюда приращение скорости течения между указанными участками \[\Delta u = u_2 - u_1 = \frac{\nu\,\Delta V}{S}.\]

Рассмотрим смещение отрезка взвеси между указанными участками за время \(dt\): задняя граница отрезка сместится вправо на \(u_1\,dt\), а передняя — на \(u_2\,dt\). В области пересечения картина течения прежняя. От исходного отрезка сзади «отрезается» кусок \(u_1\,dt\) с массой \(dm = \mu\,dt\), а спереди добавляется кусок \(u_2\,dt\) с той же массой. Суммарная сила, действующая на отрезок взвеси, через изменение импульса: \[F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt}(u_2 - u_1) = \mu(u_2 - u_1) = \Delta p\, S,\] откуда \[\mu = \frac{\Delta p\,S}{u_2 - u_1} = \frac{\Delta p\,S^2}{\nu\,\Delta V}.\]