Сферическая горка

Сила реакции горки при \(\mu = \mathrm{tg}\,\alpha\) направлена вертикально. Что это значит для горизонтальной составляющей скорости шайбы?

При произвольном угле \(\alpha\) на шайбу действуют сила нормального давления \(N\) и сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N = N\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Сила реакции \(Q\) направлена к силе \(N\) под таким углом \(\beta\), что \(\mathrm{tg}\,\beta = F_{\text{тр}}/N = \mathrm{tg}\,\alpha\). Откуда \(\beta = \alpha\), то есть сила реакции направлена вертикально. Поэтому горизонтальная составляющая скорости постоянна и равна \(v_0\).

1. Время движения \[\tau = \frac{R\cos(\pi/4)}{v_0} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{R}{v_0}.\]

2. Скорость шайбы в момент достижения горизонтальной поверхности равна \(v_1 = \sqrt{2}\,v_0\). По закону сохранения энергии \[\frac{m v_0^2}{2} + mgR + A_{\text{тр}} = \frac{m v_1^2}{2} + mgR\cos\frac{\pi}{4}.\] Окончательно \[A_{\text{тр}} = -m\left(gR\,\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} - \frac{v_0^2}{2}\right).\]

3. Второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную горке: \[\frac{m\,(v_0/\cos\alpha)^2}{R} = mg\cos\alpha - N.\] Отрыв произойдёт при \(N = 0\); при этом \(v_0^2 = gR\cos^3\alpha\). Поскольку \(0 \le \alpha \le \pi/4\), отрыва не будет при \(v_0 \le \sqrt{gR/(2\sqrt{2})}\). При этих значениях \(v_0\) работа \(A_{\text{тр}}\) всегда отрицательна, как и должно быть для работы диссипативных сил.