Раздельный вылет

В критическом положении, когда точка касания шариков находится на одной горизонтали с центром полуокружности, сила взаимодействия шариков равна нулю. Дальше один шарик поднимается в верхнее колено, другой остаётся внизу.

На изогнутом участке центры шариков движутся по окружности радиуса \(R = h/2\). Скатывающая сила для переднего шарика в нижней части скругления больше, чем для заднего, поэтому шарики давят друг на друга. В верхней части скругления скатывающая сила больше для заднего шарика, и он отстаёт от переднего. Критическое положение, в котором сила давления шариков друг на друга обращается в нуль и их контакт исчезает, — это случай, когда точка соприкосновения шариков находится на одной горизонтали с центром \(O\) скругления.

Из сохранения энергии скорость шариков в этом положении \(v^2 = u^2 - 2gR = u^2 - gh\).

Далее шарики движутся раздельно. Центр переднего шарика в критическом положении выше точки \(O\); он окажется в верхнем колене, поднявшись на \(h/2 - r\) от своего положения в критический момент. Из сохранения энергии \[v_1^2 = v^2 - 2g\left(\frac{h}{2} - r\right) = u^2 - 2g(h - r).\] Условие того, что передний шарик доберётся до верхнего колена и вылетит: \(v_1^2 > 0\), то есть \(u^2 > 2g(h - r)\).

Задний шарик не доберётся до верхнего колена и вылетит из нижнего, если его скорость обратится в нуль ещё на участке скругления. Граничный случай — нулевая скорость заднего шарика в верхнем колене; по закону сохранения энергии \(u_{\max}^2 = 2g(h + r)\). Тогда диапазон скорости задан неравенствами \[2g(h - r) < u^2 < 2g(h + r),\] или \(\sqrt{2g(h - r)} < u < \sqrt{2g(h + r)}\), то есть \(4{,}36~\text{м/с} < u < 4{,}58~\text{м/с}\) (числа посчитаны для \(g = 10~\text{м/с}^2\)).